Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (6, 1, −2) і b = (−1, −3, 1) у градусах.

a = (6, 1, −2)b = (−1, −3, 1)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−5, −2, 1) і b = (5, −5, −2) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (−5, −2, 1)b = (5, −5, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 4 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 8 mP = 35 kN у 7 mM = 15 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 4 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5,5 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 6 mP = 55 kN у 5,5 m, θ = 45°Q = 45 kN у 3,5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓F: 40 kN →H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

7.Рами та механізмиСередня

У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 8° з прямою AC. У B прикладена сила 400 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.

F = 400 Nθ = 8°

Q = N

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 6 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 6 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 1 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 60 kN у 3,5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 25 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 121,2 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 6·(−1) + 1·(−3) + (−2)·1 = −11

Модулі

|a| = √(6² + 1² + (−2)²) = 6,403

|b| = √((−1)² + (−3)² + 1²) = 3,317

Кут

cos θ = −11/(6,403·3,317) = −0,518

θ = arccos(−0,518) = 121,2°

Відповідь

θ = 121,2°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = 0,2467

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − 1·(−5) = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·5 − (−5)·(−2) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−5) − (−2)·5 = 35

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √(9² + (−5)² + 35²) = 36,48

n̂ = (9, −5, 35)/36,48 = (0,2467, −0,1371, 0,9594)

n̂_x = 0,2467

Відповідь

n̂_x = 0,2467

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 2,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 35·7 − 15 = 0

R_B = 260/8 = 32,5 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 35 − 32,5 = 2,5 kN

Відповідь

R_A = 2,5 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 44,68 kN

Складові P

P_v = 55·sin 45° = 38,89 kN

P_h = 55·cos 45° = 38,89 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·6 = 38,89·5,5 + 45·3,5 → R_B = 61,9 kN

A_y = 38,89 + 45 − 61,9 = 21,99 kN

A_x = P_h = 38,89 kN

Повна реакція в A

R_A = √(38,89² + 21,99²) = 44,68 kN

Відповідь

R_A = 44,68 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 60 kN (T), BC: 86,67 kN (T), CD: 86,67 kN (T), DE: 80 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 75 kN (C), HE: 100 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 45 kN (T), BG: 33,33 kN (C), DG: 8,333 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 79,69 kN (T), BC: 79,69 kN (T), CD: 46,56 kN (T), DE: 46,56 kN (T), FG: 63,13 kN (C), GH: 63,13 kN (C), AF: 66,15 kN (C), HE: 77,6 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 27,6 kN (C), HC: 27,6 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: Q = 1423 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Рівновага шарніра B

2·F_link·sin 8° = 400

F_link = 1437 N

Сила затиску

Q = F_link·cos 8° = 400/(2·tan 8°) = 1423 N

Відповідь

Q = 1423 N

Відношення сил Q/F = 3,558 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 15,09 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Кут каната

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Моменти відносно A

T·0,4472·2 = 6·2 + 1,5·1

T = 15,09 kN

Відповідь

T = 15,09 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 148,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 60·5,5 − 12·5,5·2,75 = 148,5 kN·m

Відповідь

M_x = 148,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 62 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 10·5·2,5

R_B = 335/5 = 67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 67 = 43 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 43·4 − 60·(4 − 3,5) − 10·4·2 = 62 kN·m

Відповідь

M_x = 62 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 33,56 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стінка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·225 + 3960·110)/5960 = 148,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(225 − 148,6)² = 1,169 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 148,6)² = 2,187 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,169 × 10⁷ + 2,187 × 10⁷ = 3,356 × 10⁷ mm⁴ = 33,56 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 33,56 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 69,83 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·155 + 2240·70)/7040 = 128 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·30³/12 + 4800·(155 − 128)² = 3,871 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·140³/12 + 2240·(70 − 128)² = 1,118 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,871 × 10⁶ + 1,118 × 10⁷ = 1,505 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 170 − 128 = 42,05 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·42,05/1,505 × 10⁷ = 69,83 MPa

Відповідь

σ_верх = 69,83 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics