Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−4, 4, −5) і b = (−6, 2, k) перпендикулярні.

a = (−4, 4, −5)b = (−6, 2, k)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (60, −60, −50) N діє в точці A(3, −3, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту M_y моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (60, −60, −50) NA(3, −3, −4) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 5 mP = 40 kN у 1,5 mM = 50 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 1 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP = 45 kN у 7 mw = 5 kN/m від 1 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓F: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,5 м над землею. У C діє навантаження 4 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 4 kNAB = 4 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,5 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2 м вище від A. У B висить вантаж 4 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 4 kNW_b = 1,5 kNAB = 6 mAC = 2 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 40 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mM₀ = 40 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 50 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 25 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = 6,4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−4)·(−6) + 4·2 + (−5)·k = 0

32 + (−5)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −32/(−5) = 6,4

Відповідь

k = 6,4

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: M_y = −90 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (3, −3, −4) − (0, 0, 0) = (3, −3, −4) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−50) − (−4)·(−60) = −90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·60 − 3·(−50) = −90 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−60) − (−3)·60 = 0 N·m

Потрібна компонента

M_y = −90 N·m

Відповідь

M_y = −90 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 40·1,5 − 50 = 0

R_B = 110/5 = 22 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 40 − 22 = 18 kN

Відповідь

R_B = 22 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 15,94 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 5·3·2,5

R_B = 352,5/8 = 44,06 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 44,06 = 15,94 kN

Відповідь

R_A = 15,94 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 46,25 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 38,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 5,303 kN (T), DG: 5,303 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −25,39 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 10·3 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 10 = 40 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,3939 = −25,39 kN

Відповідь

F_BC = −25,39 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 2,762 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 2 kN

T = 2·2/2,1 = 1,905 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 1,905 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Модуль

C = √(1,905² + 2²) = 2,762 kN

Відповідь

C = 2,762 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 14,27 kN

Натяг каната

T = (4 + 1,5/2)/0,3162 = 15,02 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 14,25 kN

A_y = 4 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN

Модуль

A = √(14,25² + 0,75²) = 14,27 kN

Відповідь

A = 14,27 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 36 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/10 = 4 kN (вгору)

R_A = −R_B = −4 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −4·1 + 40 = 36 kN·m

Відповідь

M_x = 36 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 108,8 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·3 + 2·8·4

R_B = 214/8 = 26,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 26,75 = 39,25 kN

Де V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 33,25 kN

V(3⁺) = 33,25 − 50 = −16,75 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 39,25·3 − 2·3²/2 = 108,8 kN·m

Відповідь

M_max = 108,8 kN·m

Це в точці x = 3 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 28,3 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стінка: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·247,5 + 1920·120)/4920 = 197,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·15³/12 + 3000·(247,5 − 197,7)² = 7,483 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·240³/12 + 1920·(120 − 197,7)² = 2,082 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,483 × 10⁶ + 2,082 × 10⁷ = 2,83 × 10⁷ mm⁴ = 28,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 28,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 137,3 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стінка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·185 + 3600·90)/6400 = 131,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·10³/12 + 2800·(185 − 131,6)² = 8,019 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 131,6)² = 1,594 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,019 × 10⁶ + 1,594 × 10⁷ = 2,396 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 131,6 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·131,6/2,396 × 10⁷ = 137,3 MPa

Відповідь

σ_низ = 137,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics