Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (0, −3, −5) на b = (−2, 2, −1), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (0, −3, −5)b = (−2, 2, −1)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(0, 1, 2), B(−3, −3, 4) і C(4, −2, 3). Координати подано в метрах.

A(0, 1, 2)B(−3, −3, 4)C(4, −2, 3)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 8 mP = 10 kN у 1 mM = 25 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP = 25 kN у 1 mw = 10 kN/m від 0 до 7 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3,2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,5 м над землею. Вертикальне навантаження 2 кН діє на ногу AC у K на 1,2 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 2 kNAB = 3,2 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,5 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 1,5 м вище від A. У B висить вантаж 4 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 4 kNW_b = 2 kNAB = 5 mAC = 1,5 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть поперечну силу V_x безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP₁ = 70 kN у 5 mP₂ = 35 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7 mw = 3 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 6 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 170 × 16 mm, стінку висотою 200 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 260 × 22 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 170 × 16 mmстінка: 12 × 200 mmнижня полиця: 260 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −0,3333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 0·(−2) + (−3)·2 + (−5)·(−1) = −1

Довжина b

|b| = √((−2)² + 2² + (−1)²) = 3

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −1/3 = −0,3333

Відповідь

comp_b a = −0,3333

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 13,69 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−3, −4, 2)

AC = C − A = (4, −3, 1)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·1 − 2·(−3) = 2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·4 − (−3)·1 = 11

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−3) − (−4)·4 = 25

|AB × AC| = √(2² + 11² + 25²) = 27,39

Площа трикутника

A = ½·27,39 = 13,69 m²

Відповідь

A = 13,69 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 5,625 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 10·1 − 25 = 0

R_B = 35/8 = 4,375 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 10 − 4,375 = 5,625 kN

Відповідь

R_A = 5,625 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 61,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·1 + 10·7·3,5

R_B = 270/8 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 33,75 = 61,25 kN

Відповідь

R_A = 61,25 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −11,27 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3,75 = 6,25 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,25/0,5547 = −11,27 kN

Відповідь

F_AB = −11,27 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −33,54 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 + 10·4 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 25 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,8944 = −33,54 kN

Відповідь

F_AB = −33,54 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 0,4 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 2·1,2/3,2 = 0,75 kN

Нога BC: моменти відносно C

0,75·1,6 = T·3

T = 0,4 kN

Відповідь

T = 0,4 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 16,7 kN

Натяг каната

T = (4 + 2/2)/0,2873 = 17,4 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 16,67 kN

A_y = 4 + 2 − T·sin β = 1 kN

Модуль

A = √(16,67² + 1²) = 16,7 kN

Відповідь

A = 16,7 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −48,13 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·5 + 35·9

R_B = 665/8 = 83,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 83,13 = 21,88 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

V_x = R_A − P₁ = 21,88 − 70 = −48,13 kN

Відповідь

V_x = −48,13 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 12,76 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·7·3,5

R_B = 73,5/6 = 12,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 21 − 12,25 = 8,75 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8,75/3 = 2,917 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8,75²/(2·3) = 12,76 kN·m

Відповідь

M_max = 12,76 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 11,19 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стінка: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·165 + 1920·80)/3920 = 123,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(165 − 123,4)² = 3,483 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·160³/12 + 1920·(80 − 123,4)² = 7,707 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,483 × 10⁶ + 7,707 × 10⁶ = 1,119 × 10⁷ mm⁴ = 11,19 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 11,19 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 99,75 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2720 mm², y = 230 mm

стінка: A = 2400 mm², y = 122 mm

нижня полиця: A = 5720 mm², y = 11 mm

Центр ваги

ȳ = (2720·230 + 2400·122 + 5720·11)/10840 = 90,53 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 170·16³/12 + 2720·139,5² = 5,297 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·200³/12 + 2400·31,47² = 1,038 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 260·22³/12 + 5720·79,53² = 3,641 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,297 × 10⁷ + 1,038 × 10⁷ + 3,641 × 10⁷

I_x = 9,975 × 10⁷ mm⁴ = 99,75 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 99,75 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics