У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (20, 10, 5) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−2, 3, −2) до точки B(−1, 4, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (20, 10, 5) NA(−2, 3, −2) mB(−1, 4, −4) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть площу A паралелограма, натягнутого на a = (5, 6, 2) і b = (−4, 6, −2).
a = (5, 6, 2)b = (−4, 6, −2)
A =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 6 mP1 = 25 kN у 2 mP2 = 30 kN у 2,5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 1 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.
L = 6 mP = 35 kN у 5 m, θ = 45°Q = 10 kN у 1 m
α = °
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. Вертикальне навантаження 20 кН діє на ногу AC у K на 0,75 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.
P = 20 kNAB = 2 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,75 m
T = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 5 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.
W = 5 kNWb = 1,5 kNAB = 6 mAC = 1 m
A = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 10 mP1 = 35 kN у 2 mP2 = 30 kN у 6 m
Mmax = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
50 kN @ 6 m25 kN @ 1 m15 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 40 MPa на розтяг і 100 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент Mallow, який може витримати балка (вкажіть його величину).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−1, 4, −4) − (−2, 3, −2) = (1, 1, −2) m
Робота
W = F·d = 20·1 + 10·1 + 5·(−2) = 20 J
Відповідь
W = 20 J
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: A = 59,13
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−2) − 2·6 = −24
(a × b)y = azbx − axbz = 2·(−4) − 5·(−2) = 2
(a × b)z = axby − aybx = 5·6 − 6·(−4) = 54
Площа
A = |a × b| = √((−24)² + 2² + 54²) = 59,13
Відповідь
A = 59,13
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 20,83 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2 + 30·2,5
RB = 125/6 = 20,83 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 20,83 = 34,17 kN
Відповідь
RB = 20,83 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: α = 26,72 °
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Складові P
Pv = 35·sin 45° = 24,75 kN
Ph = 35·cos 45° = 24,75 kN
Реакції
ΣMA = 0: RB·6 = 24,75·5 + 10·1 → RB = 22,29 kN
Ay = 24,75 + 10 − 22,29 = 12,46 kN
Ax = Ph = 24,75 kN
Напрямок у A
α = atan(Ay/Ax) = atan(12,46/24,75) = 26,72°
Відповідь
α = 26,72°
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAC = 32,81 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 → Cy = 13,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 13,13 = 21,88 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол D
CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Уся рама: моменти відносно A
By = 20·0,75/2 = 7,5 kN
Нога BC: моменти відносно C
7,5·1 = T·3,5
T = 2,143 kN
Відповідь
T = 2,143 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: A = 34,51 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Натяг каната
T = (5 + 1,5/2)/0,1644 = 34,98 kN
Складові в A
Ax = T·cos β = 34,5 kN
Ay = 5 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN
Модуль
A = √(34,5² + 0,75²) = 34,51 kN
Відповідь
A = 34,51 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 100 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
ΣMA = 0: RB·10 = 35·2 + 30·6
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 25 = 40 kN
Момент під кожною силою
Залиште частину ліворуч від кожної сили.
під P1: M = RA·2 = 40·2 = 80 kN·m
під P2: M = RB·4 = 25·4 = 100 kN·m
Найбільше значення
Mmax = 100 kN·m (під P2)
Відповідь
Mmax = 100 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: F (x = 5 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 47,5 kN, R2 = 102,5 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 40, MC = 40, MD = 25, ME = −5, MF = −50 kN·m, MG = 0
Відповідь
Позначка F: MF = −50 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 29,96 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
стінка: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.