Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (6, −6, 4) і b = (−3, 1, 4).

a = (6, −6, 4)b = (−3, 1, 4)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (−30, 60, −40) N діє в точці A(2, −4, −3). Координати подано в метрах. Знайдіть y-компоненту M_y моменту сили відносно точка O(2, −3, 2).

F = (−30, 60, −40) NA(2, −4, −3) mO(2, −3, 2) m

M_y = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP₁ = 10 kN у 1,5 mP₂ = 55 kN у 2,5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 5 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3 mAC = 5 mP = 35 kN у 0,5 mw = 5 kN/m від 3 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 5 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 2 м над землею. Вертикальне навантаження 6 кН діє на ногу AC у K на 0,625 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 6 kNAB = 5 mвисота C = 4 mвисота DE = 2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,625 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 1 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 5 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 10 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 5 kN/mP = 10 kNAD = 1,5 mAB = 3 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP₁ = 10 kN у 1 mP₂ = 45 kN у 4 m

M_max = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 12 m20 kN @ 4 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 190 × 22 mm, стінку висотою 200 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 270 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 190 × 22 mmстінка: 12 × 200 mmнижня полиця: 270 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −8

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = 6·(−3) + (−6)·1 + 4·4 = (−18) + (−6) + 16 = −8

Відповідь

a·b = −8

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: M_y = 150 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (2, −4, −3) − (2, −3, 2) = (0, −1, −5) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−40) − (−5)·60 = 340 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−5)·(−30) − 0·(−40) = 150 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·60 − (−1)·(−30) = −30 N·m

Потрібна компонента

M_y = 150 N·m

Відповідь

M_y = 150 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 26,88 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 55·2,5

R_B = 152,5/4 = 38,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 38,13 = 26,88 kN

Відповідь

R_A = 26,88 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 25,83 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 35·0,5 + 10·4

R_B = 57,5/3 = 19,17 kN

R_A = 45 − 19,17 = 25,83 kN

Відповідь

R_A = 25,83 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 43,33 kN (T), BC: 33,33 kN (T), CD: 33,33 kN (T), DE: 23,33 kN (T), FG: 43,33 kN (C), GH: 23,33 kN (C), AF: 54,17 kN (C), HE: 29,17 kN (C), BF: 32,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 12,5 kN (T), DG: 12,5 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 43,13 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 + 30·4 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 28,75 = 26,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28,75/0,5547 = −51,83 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−51,83)·0,8321 = 43,13 kN

Відповідь

F_AC = 43,13 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 0,9375 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 6·0,625/5 = 0,75 kN

Нога BC: моменти відносно C

0,75·2,5 = T·2

T = 0,9375 kN

Відповідь

T = 0,9375 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 63,1 kN

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 5·3 = 15 kN у 1,5 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,5547·1,5 = 15·1,5 + 10·3 = 52,5 kN·m

F_CD = 63,1 kN

Відповідь

F_CD = 63,1 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 63,33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 45·4

R_B = 190/6 = 31,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31,67 = 23,33 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1 = 23,33·1 = 23,33 kN·m

під P₂: M = R_B·2 = 31,67·2 = 63,33 kN·m

Найбільше значення

M_max = 63,33 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 63,33 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 20 kN, R₂ = 140 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 0, M_D = −100, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −240 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 79,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 706,9·70)/(24000 − 706,9) = 100,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·−0,9104² = 80,02 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,91² = 0,7151 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 79,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 79,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 102,7 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 4180 mm², y = 225 mm

стінка: A = 2400 mm², y = 114 mm

нижня полиця: A = 3780 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (4180·225 + 2400·114 + 3780·7)/10360 = 119,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 190·22³/12 + 4180·105,3² = 4,648 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·200³/12 + 2400·5,745² = 8,079 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 270·14³/12 + 3780·112,7² = 4,811 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,648 × 10⁷ + 8,079 × 10⁶ + 4,811 × 10⁷

I_x = 1,027 × 10⁸ mm⁴ = 102,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 102,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics