Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (1, 1, −1) і b = (5, 2, 5) у градусах.

a = (1, 1, −1)b = (5, 2, 5)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (2, −2, −2) і b = (−3, −4, 0) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (2, −2, −2)b = (−3, −4, 0)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 50 kN у 5 mP₂ = 20 kN у 6 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 40 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 6 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 2 м над землею. У C діє навантаження 2 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 2 kNAB = 6 mвисота C = 4 mвисота DE = 2 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 6 м одна від одної, а B розташований на висоті 2 м і на 2,7 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 5 кН у K на 2,025 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 5 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 5 kNQ = 5 kNL = 6 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,7 mгоризонтальна відстань від A до K = 2,025 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 4 kN/m від 0 до 8 mx = 2 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 180 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 300 mmвиріз: 60 × 50 mmцентр отвору: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 80,96 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 1·5 + 1·2 + (−1)·5 = 2

Модулі

|a| = √(1² + 1² + (−1)²) = 1,732

|b| = √(5² + 2² + 5²) = 7,348

Кут

cos θ = 2/(1,732·7,348) = 0,1571

θ = arccos(0,1571) = 80,96°

Відповідь

θ = 80,96°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = −0,3487

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·0 − (−2)·(−4) = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−3) − 2·0 = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−4) − (−2)·(−3) = −14

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √((−8)² + 6² + (−14)²) = 17,2

n̂ = −(−8, 6, −14)/17,2 = (0,465, −0,3487, 0,8137)

n̂_y = −0,3487

Відповідь

n̂_y = −0,3487

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 46,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 20·6

R_B = 370/8 = 46,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 46,25 = 23,75 kN

Відповідь

R_B = 46,25 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 6·4·2

R_B = 88/4 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 22 = 42 kN

Відповідь

R_B = 22 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −13,34 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 → C_y = 41,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 41,67 = 8,333 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,333/0,6247 = −13,34 kN

Відповідь

F_AB = −13,34 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −11,18 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·4 + 5·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,4472 = −11,18 kN

Відповідь

F_AB = −11,18 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 1,803 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 1 kN

T = 1·3/2 = 1,5 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 1,5 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Модуль

C = √(1,5² + 1²) = 1,803 kN

Відповідь

C = 1,803 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 0,5344 kN

Напрям BC

BC = 3,859 m, cos = 0,8552, sin = 0,5183

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,5183·6 = 5·2,025 + 5·2

F_BC = 6,471 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 5 − 6,471·0,8552 = 0

A_x = 0,5344 kN → |A_x| = 0,5344 kN

Відповідь

A_x = 0,5344 kN

A_x напрямлена праворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 8 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 16 − 4·2 = 8 kN

Відповідь

V_x = 8 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 53,75 kN, R₂ = 31,25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = −11,25, M_D = −2,5, M_E = −3,75, M_F = −15, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −30 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 87,8 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

стінка: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·310 + 5400·150)/8200 = 204,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·20³/12 + 2800·(310 − 204,6)² = 3,118 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 204,6)² = 5,662 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,118 × 10⁷ + 5,662 × 10⁷ = 8,78 × 10⁷ mm⁴ = 87,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 87,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 446,5 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (60000·150 − 3000·180)/(60000 − 3000) = 148,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·300³/12 + 60000·1,579² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·50³/12 + 3000·31,58² = 3,617 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 446,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 446,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics