Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (15, −10, 30) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(1, 3, 2) до точки B(5, −4, 3). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (15, −10, 30) NA(1, 3, 2) mB(5, −4, 3) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (−20, −40, 20) N діє в точці A(−1, 4, −4). Координати подано в метрах. Знайдіть модуль |M| моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (−20, −40, 20) NA(−1, 4, −4) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 45 kN у 5 mP₂ = 70 kN у 8 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP = 30 kN у 2 mw = 5 kN/m від 4 до 9 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. У C діє навантаження 12 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 12 kNAB = 4,8 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 4 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1,2 м. У C діє горизонтальна сила 12 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 12 kNAB = 4 mвисота C = 4 mвисота DE = 1,2 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 45 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mM₀ = 45 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 35 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 160 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 70 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 160 mmh = 70 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = 160 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (5, −4, 3) − (1, 3, 2) = (4, −7, 1) m

Робота

W = F·d = 15·4 + (−10)·(−7) + 30·1 = 160 J

Відповідь

W = 160 J

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: |M| = 175,5 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (−1, 4, −4) − (0, 0, 0) = (−1, 4, −4) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·20 − (−4)·(−40) = −80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−20) − (−1)·20 = 100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−40) − 4·(−20) = 120 N·m

Модуль

|M| = √((−80)² + 100² + 120²) = 175,5 N·m

Відповідь

|M| = 175,5 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 130,8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 70·8

R_B = 785/6 = 130,8 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 45 + 70 − 130,8 = −15,83 kN

Відповідь

R_B = 130,8 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 5·5·6,5

R_B = 222,5/10 = 22,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 22,25 = 32,75 kN

Відповідь

R_B = 22,25 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 62,5 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 25 kN (T), HC: 12,5 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −29,3 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 10·2 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,25/0,5547 = −29,3 kN

Відповідь

F_AB = −29,3 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 8,485 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 6 kN

T = 6·2,4/2,4 = 6 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 6 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Модуль

C = √(6² + 6²) = 8,485 kN

Відповідь

C = 8,485 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 8,571 kN

Уся рама: моменти відносно A

B_y·4 = 12·4

B_y = 12 kN

Нога BC: моменти відносно C

12·2 = T·2,8

T = 8,571 kN

Відповідь

T = 8,571 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 36 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/5 = 9 kN (вгору)

R_A = −R_B = −9 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −9·1 + 45 = 36 kN·m

Відповідь

M_x = 36 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 58,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 6·10·5

R_B = 335/10 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 33,5 = 61,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 61,5·1 − 6·1·0,5 = 58,5 kN·m

Відповідь

M_x = 58,5 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 22,1 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 160·16 = 2560 mm², y₁ = 8 mm

дві полиці: A₂ = 2·16·54 = 1728 mm², y₂ = 16 + 54/2 = 43 mm

Центр ваги

ȳ = (2560·8 + 1728·43)/4288 = 22,1 mm

Відповідь

ȳ = 22,1 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 40,58 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стінка: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 2400·100)/9600 = 186,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·30³/12 + 7200·(215 − 186,3)² = 6,491 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·200³/12 + 2400·(100 − 186,3)² = 2,585 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,491 × 10⁶ + 2,585 × 10⁷ = 3,235 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 230 − 186,3 = 43,75 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·43,75/3,235 × 10⁷ = 40,58 MPa

Відповідь

σ_верх = 40,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics