Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−2, 5, −5) і b = (k, −6, −1) перпендикулярні.

a = (−2, 5, −5)b = (k, −6, −1)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A паралелограма, натягнутого на a = (−2, −1, 1) і b = (4, −4, −6).

a = (−2, −1, 1)b = (4, −4, −6)

A =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 4 kN/m у B. Також на відстані 2,5 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 65 kN у 2,5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 3 mAD = 8 mP = 65 kN у 5 mQ = 50 kN у 2 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3,2 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,8 м над землею. У C діє навантаження 20 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 20 kNAB = 3,2 mвисота C = 2,5 mвисота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 0,8 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 5 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 12 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 5 kN/mP = 12 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 0,8 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 4 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

40 kN @ 6 m60 kN @ 1 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −12,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−2)·k + 5·(−6) + (−5)·(−1) = 0

−25 + (−2)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−25)/(−2) = −12,5

Відповідь

k = −12,5

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 17,55

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−6) − 1·(−4) = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·4 − (−2)·(−6) = −8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−4) − (−1)·4 = 12

Площа

A = |a × b| = √(10² + (−8)² + 12²) = 17,55

Відповідь

A = 17,55

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 35,08 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·4 + 65·2,5

R_B = 35,08 kN

R_A = 77 − 35,08 = 41,92 kN

Відповідь

R_B = 35,08 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 26 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 65·2

R_D = 26 kN

V_C = 65 − 26 = 39 kN

Відповідь

R_D = 26 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −25,03 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 → C_y = 48,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 48,13 = 6,875 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,875/0,2747 = −25,03 kN

Відповідь

F_AB = −25,03 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 17 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 5·3 → C_y = 17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 17 = 18 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17/0,7071 = −24,04 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−24,04)·0,7071 = 17 kN

Відповідь

F_AC = 17 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 13,73 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 10 kN

T = 10·1,6/1,7 = 9,412 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 9,412 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Модуль

C = √(9,412² + 10²) = 13,73 kN

Відповідь

C = 13,73 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 118,5 kN

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 5·4 = 20 kN у 2 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,3714·2 = 20·2 + 12·4 = 88 kN·m

F_CD = 118,5 kN

Відповідь

F_CD = 118,5 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 45,83 kN, R₂ = 34,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 91,67, M_C = 183,3, M_D = 205 kN·m, M_E = 136,7, M_F = 68,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 205 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 41 kN, R₂ = 91 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 37, M_C = 6, M_D = −33, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −80 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (28800·120 − 1963·156)/(28800 − 1963) = 117,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·240³/12 + 28800·2,634² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·38,63² = 3,237 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 51,61 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стінка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·305 + 2400·150)/4000 = 212 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(305 − 212)² = 1,385 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 212)² = 2,723 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,385 × 10⁷ + 2,723 × 10⁷ = 4,108 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 212 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·212/4,108 × 10⁷ = 51,61 MPa

Відповідь

σ_низ = 51,61 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics