Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (0, 3, −2) і b = (−2, 7, 5).

a = (0, 3, −2)b = (−2, 7, 5)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (−20, −40, −60) N діє в точці A(0, 1, 4). Координати подано в метрах. Знайдіть модуль |M| моменту сили відносно точка O(−1, 2, −3).

F = (−20, −40, −60) NA(0, 1, 4) mO(−1, 2, −3) m

|M| = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 6 m і зосередженою силою P на відстані 7 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 8 mP = 50 kN у 7 mw = 12 kN/m від 0 до 6 m

M_A = kN·m

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3,5 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 2,5 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 10 kN у 4 mw = 3 kN/m від 3,5 до 6 mQ = 70 kN у 2,5 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,2 м нижче від A. У B висить вантаж 6 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 6 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2,4 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 6 кН діє на ногу AC у K на 0,72 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 6 kNAB = 2,4 mвисота C = 3 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,72 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть відстань x₀ від A до перерізу, де згинальний момент найбільший.

L = 4 mw = 10 kN/m від 1 до 4 m

x₀ = m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 160 × 24 mm, стінку висотою 370 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 300 × 16 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 160 × 24 mmстінка: 8 × 370 mmнижня полиця: 300 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = 11

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = 0·(−2) + 3·7 + (−2)·5 = 0 + 21 + (−10) = 11

Відповідь

a·b = 11

Додатний: кут між векторами менший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: |M| = 354,4 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (0, 1, 4) − (−1, 2, −3) = (1, −1, 7) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−60) − 7·(−40) = 340 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 7·(−20) − 1·(−60) = −80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−40) − (−1)·(−20) = −60 N·m

Модуль

|M| = √(340² + (−80)² + (−60)²) = 354,4 N·m

Відповідь

|M| = 354,4 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 566 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 50·7 + 72·3 = 566 kN·m

Відповідь

M_A = 566 kN·m

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 5,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 3·2,5 = 7,5 kN у 1,25 m від C

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 10·0,5 + 7,5·1,25

R_D = 5,75 kN

V_C = 17,5 − 5,75 = 11,75 kN

Відповідь

R_D = 5,75 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −20,28 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,5547 = −20,28 kN

Відповідь

F_BC = −20,28 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −21,06 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 + 15·3 → C_y = 10,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10,83 = 9,167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол C

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10,83/0,5145 = −21,06 kN

Відповідь

F_BC = −21,06 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 13,12 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 6·2,5/(0,6247·1,5) = 16,01 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 12,5 kN (до стіни)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −4 kN

Модуль

A = √(12,5² + −4²) = 13,12 kN

Відповідь

A = 13,12 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 2,163 kN

Реакція опори в B

B_y = 6·0,72/2,4 = 1,8 kN

Сила в затяжці

T = 1,8·1,2/1,8 = 1,2 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 1,2 kN, C_y = −1,8 kN

C = √(1,2² + 1,8²) = 2,163 kN

Відповідь

C = 2,163 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 6 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 7,5·1 − 3·1·0,5 = 6 kN·m

Відповідь

M_x = 6 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x₀ = 2,125 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·2,5

R_B = 75/4 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 11,25/10 = 2,125 m

Відповідь

x₀ = 2,125 m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1963·105)/(30000 − 1963) = 153,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·−3,152² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−48,15² = 4,859 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 359,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3840 mm², y = 398 mm

стінка: A = 2960 mm², y = 201 mm

нижня полиця: A = 4800 mm², y = 8 mm

Центр ваги

ȳ = (3840·398 + 2960·201 + 4800·8)/11600 = 186,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 160·24³/12 + 3840·211,6² = 1,722 × 10⁸ mm⁴

стінка: 8·370³/12 + 2960·14,65² = 3,44 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 300·16³/12 + 4800·178,4² = 1,528 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,722 × 10⁸ + 3,44 × 10⁷ + 1,528 × 10⁸

I_x = 3,594 × 10⁸ mm⁴ = 359,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 359,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics