Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (3, 5, −4) і b = (−1, k, −5) перпендикулярні.

a = (3, 5, −4)b = (−1, k, −5)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−1, 3, −5) і b = (0, −4, 5) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його y-компоненту n̂_y.

a = (−1, 3, −5)b = (0, −4, 5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 20 kN/m в A до нуля в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mP = 50 kN у 6 mw = 8 kN/m від 3 до 10 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 6 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,6 м нижче від A. У B висить вантаж 3 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 3 kNAD = 1,5 mAB = 2 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 6 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3,6 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1 м. У C діє горизонтальна сила 20 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 20 kNAB = 6 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 2 m10 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 4 kN/m від 4 до 6 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 90 mm і внутрішній діаметр d = 74 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 90 mmd = 74 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 130 × 20 mm, стінку висотою 300 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 260 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 130 × 20 mmстінка: 16 × 300 mmнижня полиця: 260 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −3,4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = 3·(−1) + 5·k + (−4)·(−5) = 0

17 + 5·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −17/5 = −3,4

Відповідь

k = −3,4

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_y = 0,6155

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·5 − (−5)·(−4) = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·0 − (−1)·5 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−4) − 3·0 = 4

Нормування

z-компонента a × b уже додатна.

|a × b| = √((−5)² + 5² + 4²) = 8,124

n̂ = (−5, 5, 4)/8,124 = (−0,6155, 0,6155, 0,4924)

n̂_y = 0,6155

Відповідь

n̂_y = 0,6155

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 16,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,667

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Відповідь

R_B = 16,67 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 39,6 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·6 + 8·7·6,5

R_B = 664/10 = 66,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 106 − 66,4 = 39,6 kN

Відповідь

R_A = 39,6 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −23,29 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 → C_y = 20,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20,83 = 4,167 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20,83/0,8944 = −23,29 kN

Відповідь

F_BC = −23,29 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 11,25 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 + 5·3 → C_y = 16,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16,88 = 3,125 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол C

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,88/0,8321 = −20,28 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,28)·0,5547 = 11,25 kN

Відповідь

F_AC = 11,25 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 10,05 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 3·2/(0,3714·1,5) = 10,77 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (до стіни)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −1 kN

Модуль

A = √(10² + −1²) = 10,05 kN

Відповідь

A = 10,05 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 13,85 kN

Уся рама: моменти відносно A

B_y·6 = 20·3,6

B_y = 12 kN

Нога BC: моменти відносно C

12·3 = T·2,6

T = 13,85 kN

Відповідь

T = 13,85 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 12,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 65 kN·m, M_C = 60, M_D = 55, M_E = 50, M_F = 25, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = 65 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 18 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·2·5

R_B = 40/10 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 4/4 = 5 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 4·5 − 4·1²/2 = 18 kN·m

Відповідь

M_max = 18 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 29,13 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 2061 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,749 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,749 × 10⁶/2061) = 29,13 mm

Відповідь

r = 29,13 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 190,2 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2600 mm², y = 324 mm

стінка: A = 4800 mm², y = 164 mm

нижня полиця: A = 3640 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·324 + 4800·164 + 3640·7)/11040 = 149,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 130·20³/12 + 2600·174,1² = 7,888 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·300³/12 + 4800·14,08² = 3,695 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 260·14³/12 + 3640·142,9² = 7,441 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,888 × 10⁷ + 3,695 × 10⁷ + 7,441 × 10⁷

I_x = 1,902 × 10⁸ mm⁴ = 190,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 190,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics