У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−1, −5, 7) і b = (3, 3, 5).
a = (−1, −5, 7)b = (3, 3, 5)
a·b =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Для a = (2, 2, 3) і b = (6, 6, 1) знайдіть x-компоненту (a × b)x векторного добутку a × b.
a = (2, 2, 3)b = (6, 6, 1)
(a × b)x =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 5 mP1 = 40 kN у 2,5 mP2 = 50 kN у 3 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN у 3 mw = 3 kN/m від 3 до 8 m
RB = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓G: 35 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →
FBC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 200 Н у A (на 240 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 60 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра FO.
F = 200 NOA = 240 mmOB = 60 mm
FO = N
8.Рами та механізмиСкладна
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на висоті 2,5 м і на 2,25 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 6 кН у K на 0,5625 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 5 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції Ax у A.
P = 6 kNQ = 5 kNL = 5 mH = 2,5 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,25 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,5625 m
Ax = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 7 mP1 = 25 kN у 4,5 mP2 = 15 kN у 7 mопори в x = 0 і x = 6 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.
L = 6 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 110 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
b = 220 mmh = 110 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 150 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 150 mmh = 150 mmвиріз: 50 × 40 mmцентр отвору: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: a·b = 17
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток покомпонентно
(a × b)x = aybz − azby = 2·1 − 3·6 = −16
(a × b)y = azbx − axbz = 3·6 − 2·1 = 16
(a × b)z = axby − aybx = 2·6 − 2·6 = 0
Потрібна компонента
(a × b)x = −16
Відповідь
(a × b)x = −16
Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 40 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2,5 + 50·3
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 50 = 40 kN
Відповідь
RA = 40 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 37,5 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна розподіленого навантаження
W = 3·5 = 15 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 15·5,5
RB = 187,5/5 = 37,5 kN
RA = 50 − 37,5 = 12,5 kN
Відповідь
RB = 37,5 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент BF
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол B
AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·2 + 5·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 10 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Сила в B
Q = 200·240/60 = 800 N
Реакція шарніра
Ox = 800 N, Oy = 200 N
FO = √(800² + 200²) = 824,6 N
Відповідь
FO = 824,6 N
8.Рами та механізми
Відповідь: Ax = 1,507 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Напрям BC
BC = 3,717 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727
Уся рама: моменти відносно A
FBC·0,6727·5 = 6·0,5625 + 5·2,5
FBC = 4,72 kN
Горизонтальний баланс
Ax + 5 − 4,72·0,7399 = 0
Ax = −1,507 kN → |Ax| = 1,507 kN
Відповідь
Ax = 1,507 kN
Знак мінус означає, що Ax напрямлена ліворуч.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 16,88 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·4,5 + 15·7
RB = 217,5/6 = 36,25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 36,25 = 3,75 kN
Переріз під P1, залишаємо ліву частину
Mx = RA·4,5 = 3,75·4,5 = 16,88 kN·m
Відповідь
Mx = 16,88 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 11,52 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Розділіть на прямокутники
Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.
основа: A1 = 220·16 = 3520 mm², y1 = 8 mm
дві полиці: A2 = 2·16·94 = 3008 mm², y2 = 16 + 94/2 = 63 mm
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (22500·75 − 2000·97,5)/(22500 − 2000) = 72,8 mm