Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−4, −4, 7) і b = (−7, −4, 4).

a = (−4, −4, 7)b = (−7, −4, 4)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (−30, 10, −30) N діє в точці A(3, −2, 3). Координати подано в метрах. Знайдіть модуль |M| моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (−30, 10, −30) NA(3, −2, 3) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію R_A у стіні.

L = 4 mP = 35 kN у 4 mw = 8 kN/m від 0 до 4 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 10 kN у 2 mw = 2 kN/m від 2 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓C: 25 kN ↓G: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,5 м нижче від A. У B висить вантаж 6 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 6 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 3 м одна від одної, а B розташований на висоті 2 м і на 1,8 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 10 кН у K на 1,08 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 10 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 10 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,08 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 4 m8 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

15 kN @ 0 m15 kN @ 6 m30 kN @ 2 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 180 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 420 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 180 mmH = 420 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 130 × 20 mm, стінку висотою 160 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 300 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 130 × 20 mmстінка: 8 × 160 mmнижня полиця: 300 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = 72

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−4)·(−7) + (−4)·(−4) + 7·4 = 28 + 16 + 28 = 72

Відповідь

a·b = 72

Додатний: кут між векторами менший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: |M| = 42,43 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (3, −2, 3) − (0, 0, 0) = (3, −2, 3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·(−30) − 3·10 = 30 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−30) − 3·(−30) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·10 − (−2)·(−30) = −30 N·m

Модуль

|M| = √(30² + 0² + (−30)²) = 42,43 N·m

Відповідь

|M| = 42,43 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 67 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Рівновага по вертикалі

R_A = P + W = 35 + 32 = 67 kN

Відповідь

R_A = 67 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 2·2·3

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 8 = 6 kN

Відповідь

R_B = 8 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 32,81 kN (T), BC: 32,81 kN (T), CD: 27,19 kN (T), DE: 27,19 kN (T), FG: 54,37 kN (C), GH: 54,37 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 45,31 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 35,94 kN (T), HC: 45,31 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −22,63 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·2 + 5·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 14 = 16 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16/0,7071 = −22,63 kN

Відповідь

F_AB = −22,63 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 13,45 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 6·2,5/(0,8321·1) = 18,03 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (до стіни)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −9 kN

Модуль

A = √(10² + −9²) = 13,45 kN

Відповідь

A = 13,45 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 3,84 kN

Напрям BC

BC = 2,332 m, cos = 0,5145, sin = 0,8575

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,8575·3 = 10·1,08 + 10·2

F_BC = 11,97 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 10 − 11,97·0,5145 = 0

A_x = −3,84 kN → |A_x| = 3,84 kN

Відповідь

A_x = 3,84 kN

Знак мінус означає, що A_x напрямлена ліворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 49,33 kN, R₂ = 32,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 98,67, M_C = 197,3 kN·m, M_D = 180, M_E = 130,7, M_F = 65,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 197,3 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 37,5 kN, R₂ = 37,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 5, M_D = −10, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −30 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 1228 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 420 − 2·14 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·420³ − 170·392³)/12

I_x = 2,58 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 2,58 × 10⁸/210

S_x = 1,228 × 10⁶ mm³ = 1228 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 1228 × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 53,6 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2600 mm², y = 184 mm

стінка: A = 1280 mm², y = 94 mm

нижня полиця: A = 4200 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (2600·184 + 1280·94 + 4200·7)/8080 = 77,74 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 130·20³/12 + 2600·106,3² = 2,945 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·160³/12 + 1280·16,26² = 3,069 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 300·14³/12 + 4200·70,74² = 2,108 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,945 × 10⁷ + 3,069 × 10⁶ + 2,108 × 10⁷

I_x = 5,36 × 10⁷ mm⁴ = 53,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 53,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics