Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (5, −3, −6) на b = (2, 4, −4), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (5, −3, −6)b = (2, 4, −4)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−5, 1, 5), b = (−4, 0, 5) і c = (1, −3, 1).

a = (−5, 1, 5)b = (−4, 0, 5)c = (1, −3, 1)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 60 kN у 3 mP₂ = 55 kN у 7 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP = 35 kN у 3,5 mw = 8 kN/m від 1 до 2 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 12 кН діє на ногу AC у K на 1,2 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 12 kNAB = 4 mвисота C = 4,5 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 0,6 м. У C діє горизонтальна сила 10 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 10 kNAB = 4 mвисота C = 2 mвисота DE = 0,6 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 2 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 50 kN у 1,5 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 200 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 220 mmh = 200 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 50 × 40 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = 3,667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 5·2 + (−3)·4 + (−6)·(−4) = 22

Довжина b

|b| = √(2² + 4² + (−4)²) = 6

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = 22/6 = 3,667

Відповідь

comp_b a = 3,667

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 6

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·1 − 5·(−3) = 15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·1 − (−4)·1 = 9

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·(−3) − 0·1 = 12

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = (−5)·15 + 1·9 + 5·12 = −6

V = |−6| = 6

Відповідь

V = 6

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 56,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 55·7

R_B = 565/10 = 56,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 56,5 = 58,5 kN

Відповідь

R_B = 56,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 16,1 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3,5 + 8·1·1,5

R_B = 134,5/5 = 26,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 26,9 = 16,1 kN

Відповідь

R_A = 16,1 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 18 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 27 = 18 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0,8321 = −32,45 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−32,45)·0,5547 = 18 kN

Відповідь

F_AC = 18 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −30,56 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·4 − 20·3 → C_y = 6,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,667 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,33/0,6 = −30,56 kN

Відповідь

F_AB = −30,56 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 2,182 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 12·1,2/4 = 3,6 kN

Нога BC: моменти відносно C

3,6·2 = T·3,3

T = 2,182 kN

Відповідь

T = 2,182 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 7,143 kN

Уся рама: моменти відносно A

B_y·4 = 10·2

B_y = 5 kN

Нога BC: моменти відносно C

5·2 = T·1,4

T = 7,143 kN

Відповідь

T = 7,143 kN

Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 36, M_C = 64 kN·m, M_D = 59, M_E = 46, M_F = 25, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 64 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 69,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 12·4·2

R_B = 171/4 = 42,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 42,75 = 55,25 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 55,25·1,5 − 12·1,5·0,75 = 69,38 kN·m

Відповідь

M_x = 69,38 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 29,98 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 220·12 = 2640 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

Центр ваги

ȳ = (2640·6 + 4512·106)/7152 = 69,09 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 220·12³/12 + 2640·(6 − 69,09)² = 1,054 × 10⁷ mm⁴

дві полиці: 2·12·188³/12 + 4512·(106 − 69,09)² = 1,944 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,054 × 10⁷ + 1,944 × 10⁷

I_x = 2,998 × 10⁷ mm⁴ = 29,98 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 29,98 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 2000·70)/(20000 − 2000) = 103,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,333² = 66,89 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·40³/12 + 2000·−33,33² = 2,489 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics