У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть значення k, за якого вектори a = (6, 4, 2) і b = (0, 5, k) перпендикулярні.
a = (6, 4, 2)b = (0, 5, k)
k =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−2, 2, 3), b = (0, 1, −2) і c = (−2, 2, 0).
a = (−2, 2, 3)b = (0, 1, −2)c = (−2, 2, 0)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 7 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 7 mAC = 10 mP1 = 60 kN у 4 mP2 = 30 kN у 10 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5,5 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть реакцію RD рухомої опори.
AC = 3 mAD = 6 mP = 75 kN у 5,5 mw = 12 kN/m від 3 до 6 m
RD = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ←
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
7.Рами та механізмиСередня
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 8 м одна від одної, а B розташований на 2 м над землею і на 3,6 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 6 кН діє на стрижень AB у K на 1,8 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу FBC у стрижні BC.
P = 6 kNL = 8 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 3,6 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,8 m
FBC = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 6 м одна від одної, а B розташований на висоті 2,5 м і на 3,6 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 8 кН у K на 2,7 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 3 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції Ax у A.
P = 8 kNQ = 3 kNL = 6 mH = 2,5 mгоризонтальна відстань від A до B = 3,6 mгоризонтальна відстань від A до K = 2,7 m
Ax = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 35 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mM0 = 35 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mP = 60 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 210 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 210 mmH = 380 mmtf = 24 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 240 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 460 mm і стінку товщиною 6 mm. Він сприймає згинальний момент 60 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σj у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток дорівнює нулю
a·b = 6·0 + 4·5 + 2·k = 0
20 + 2·k = 0
Розв’яжіть щодо k
k = −20/2 = −10
Відповідь
k = −10
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: V = 6
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 1·0 − (−2)·2 = 4
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−2)·(−2) − 0·0 = 4
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·2 − 1·(−2) = 2
Скалярний добуток з a
a·(b × c) = (−2)·4 + 2·4 + 3·2 = 6
V = |6| = 6
Відповідь
V = 6
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 77,14 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·7 = 60·4 + 30·10
RB = 540/7 = 77,14 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 60 + 30 − 77,14 = 12,86 kN
Відповідь
RB = 77,14 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RD = 80,5 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.
Ділянка CD
У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.
W = 12·3 = 36 kN у 1,5 m від C
ΣMC = 0: RD·3 = 75·2,5 + 36·1,5
RD = 80,5 kN
VC = 111 − 80,5 = 30,5 kN
Відповідь
RD = 80,5 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAB = −35,78 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·1 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 8 = 32 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −32/0,8944 = −35,78 kN
Відповідь
FAB = −35,78 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол G
FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Двосиловий стрижень BC
BC = √(4,4² + 2²) = 4,833 m
Уся рама: моменти відносно A
Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.
FBC·(2/4,833)·8 = 6·1,8
FBC = 3,262 kN (стиск)
Відповідь
FBC = 3,262 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: Ax = 1,656 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Напрям BC
BC = 3,466 m, cos = 0,6925, sin = 0,7214
Уся рама: моменти відносно A
FBC·0,7214·6 = 8·2,7 + 3·2,5
FBC = 6,723 kN
Горизонтальний баланс
Ax + 3 − 6,723·0,6925 = 0
Ax = 1,656 kN → |Ax| = 1,656 kN
Відповідь
Ax = 1,656 kN
Ax напрямлена праворуч.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 14 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 35/5 = 7 kN (вгору)
RA = −RB = −7 kN (вниз)
Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту
Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.
Mx = RA·a + M0 = −7·3 + 35 = 14 kN·m
Відповідь
Mx = 14 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 65 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 6·6·3
RB = 168/6 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 28 = 68 kN
Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 68·1 − 6·1·0,5 = 65 kN·m
Відповідь
Mx = 65 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 338,2 × 10⁶ mm⁴
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.