Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−5, −7, 7) і b = (2, 6, 3).

a = (−5, −7, 7)b = (2, 6, 3)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−1, 4, −4), b = (−5, 4, −1) і c = (−4, 2, 4).

a = (−1, 4, −4)b = (−5, 4, −1)c = (−4, 2, 4)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 8 mP = 70 kN у 6 mM = 25 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 1 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (5 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A і зосередженою силою Q на відстані 1 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 5 mAD = 10 mP = 30 kN у 6 mQ = 15 kN у 1 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓G: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 6 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,8 м над землею. У C діє навантаження 6 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 6 kNAB = 6 mвисота C = 3 mвисота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 3 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 4 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 4 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 1 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 4 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 45 kN у 7 mw = 5 kN/m від 0 до 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 340 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 190 mmH = 340 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 70 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmвиріз: 50 × 20 mmцентр отвору: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −31

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−5)·2 + (−7)·6 + 7·3 = (−10) + (−42) + 21 = −31

Відповідь

a·b = −31

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 54

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·4 − (−1)·2 = 18

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·(−4) − (−5)·4 = 24

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·2 − 4·(−4) = 6

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = (−1)·18 + 4·24 + (−4)·6 = 54

V = |54| = 54

Відповідь

V = 54

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 55,63 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 70·6 − 25 = 0

R_B = 445/8 = 55,63 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 70 − 55,63 = 14,38 kN

Відповідь

R_B = 55,63 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 135 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 30·1

R_D = 6 kN

V_C = 30 − 6 = 24 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 15 + 24 = 39 kN

M_A = 15·1 + 24·5 = 135 kN·m

Відповідь

M_A = 135 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 28,75 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 28,75 kN (C), GH: 21,25 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 19,45 kN (C), DG: 30,05 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 67,92 kN (T), BC: 67,92 kN (T), CD: 40,42 kN (T), DE: 40,42 kN (T), FG: 92,5 kN (C), GH: 92,5 kN (C), AF: 116,1 kN (C), HE: 50,52 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 0,5208 kN (C), HC: 33,85 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 5,073 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 3 kN

T = 3·3/2,2 = 4,091 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 4,091 kN, C_y = −B_y = −3 kN

Модуль

C = √(4,091² + 3²) = 5,073 kN

Відповідь

C = 5,073 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 27,54 kN

Натяг каната

T = (4 + 3/2)/0,1961 = 28,04 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 27,5 kN

A_y = 4 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Модуль

A = √(27,5² + 1,5²) = 27,54 kN

Відповідь

A = 27,54 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 6 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 30 − 6·4 = 6 kN

Відповідь

V_x = 6 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 122,6 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·7 + 5·10·5

R_B = 565/10 = 56,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,5 = 38,5 kN

Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 38,5·4,5 − 5·4,5·2,25 = 122,6 kN·m

Відповідь

M_x = 122,6 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 149 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 340 − 2·12 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·340³ − 180·316³)/12

I_x = 1,49 × 10⁸ mm⁴ = 149 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 149 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 1000·70)/(40000 − 1000) = 100,8 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,7692² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·20³/12 + 1000·−30,77² = 0,9801 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics