Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (5, 0, −1) і b = (1, 2, −1).

a = (5, 0, −1)b = (1, 2, −1)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−4, 4, 5) і b = (4, 4, −4) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂_x.

a = (−4, 4, 5)b = (4, 4, −4)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 60 kN у 2 mP₂ = 50 kN у 3 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 5 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 8 mP = 15 kN у 3 mw = 6 kN/m від 5 до 8 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3,2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. Вертикальне навантаження 15 кН діє на ногу AC у K на 1,2 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 15 kNAB = 3,2 mвисота C = 2 mвисота DE = 1 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

T = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 0,6 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 4 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 6 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 4 kN/mP = 6 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 40 kN у 2,5 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 200 × 16 mm, стінку висотою 290 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 150 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 200 × 16 mmстінка: 16 × 290 mmнижня полиця: 150 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = 6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = 5·1 + 0·2 + (−1)·(−1) = 5 + 0 + 1 = 6

Відповідь

a·b = 6

Додатний: кут між векторами менший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: n̂_x = 0,7448

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−4) − 5·4 = −36

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − (−4)·(−4) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − 4·4 = −32

Нормування

z-компонента a × b від’ємна, тож використайте −(a × b).

|a × b| = √((−36)² + 4² + (−32)²) = 48,33

n̂ = −(−36, 4, −32)/48,33 = (0,7448, −0,08276, 0,6621)

n̂_x = 0,7448

Відповідь

n̂_x = 0,7448

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 54 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 50·3

R_B = 270/5 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 54 = 56 kN

Відповідь

R_B = 54 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 6 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3 + 18·6,5

R_B = 162/6 = 27 kN

R_A = 33 − 27 = 6 kN

Відповідь

R_A = 6 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −4,76 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1,875 = 13,13 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,875/0,3939 = −4,76 kN

Відповідь

F_BC = −4,76 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 36,56 kN (T), BC: 51,87 kN (T), CD: 51,87 kN (T), DE: 37,19 kN (T), FG: 36,56 kN (C), GH: 37,19 kN (C), AF: 44,27 kN (C), HE: 61,98 kN (C), BF: 35,42 kN (T), CG: 0, DH: 49,58 kN (T), BG: 25,52 kN (C), DG: 24,48 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: T = 9 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

B_y = 15·1,2/3,2 = 5,625 kN

Нога BC: моменти відносно C

5,625·1,6 = T·1

T = 9 kN

Відповідь

T = 9 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 47,14 kN

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 4·2 = 8 kN у 1 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,7071·0,6 = 8·1 + 6·2 = 20 kN·m

F_CD = 47,14 kN

Відповідь

F_CD = 47,14 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 6,875 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Відповідь

M_x = 6,875 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 75,83 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2,5 + 4·6·3

R_B = 172/6 = 28,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 28,67 = 35,33 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 35,33·2,5 − 4·2,5·1,25 = 75,83 kN·m

Відповідь

M_x = 75,83 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 23,37 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стінка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 3600·90)/6200 = 129,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(185 − 129,8)² = 7,933 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 129,8)² = 1,543 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,933 × 10⁶ + 1,543 × 10⁷ = 2,337 × 10⁷ mm⁴ = 23,37 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 23,37 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 133,8 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3200 mm², y = 308 mm

стінка: A = 4640 mm², y = 155 mm

нижня полиця: A = 1500 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (3200·308 + 4640·155 + 1500·5)/9340 = 183,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 200·16³/12 + 3200·124,7² = 4,98 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·290³/12 + 4640·28,33² = 3,624 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 150·10³/12 + 1500·178,3² = 4,771 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,98 × 10⁷ + 3,624 × 10⁷ + 4,771 × 10⁷

I_x = 1,338 × 10⁸ mm⁴ = 133,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 133,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics