У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (20, −30, 30) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(4, 0, 3) до точки B(−5, −3, −2). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (20, −30, 30) NA(4, 0, 3) mB(−5, −3, −2) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−5, 0, 3), b = (3, 0, −1) і c = (3, −2, −2).
a = (−5, 0, 3)b = (3, 0, −1)c = (3, −2, −2)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 65 kN у 2,5 mP2 = 65 kN у 6 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 4 m від A під кутом 45° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 1 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.
L = 10 mP = 20 kN у 4 m, θ = 45°Q = 45 kN у 1 m
α = °
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 20° з прямою AC. У B прикладена сила 100 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.
F = 100 Nθ = 20°
Q = N
8.Рами та механізмиСкладна
Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 100 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 25 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 5000 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.
Q = 5000 NAB = BC = 100 mmh = 25 mm
F = N
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
60 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть відстань x0 від A до перерізу, де згинальний момент найбільший.
L = 5 mw = 4 kN/m від 2 до 5 m
x0 = m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 150 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент Mallow, який може витримати балка (вкажіть його величину).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−5, −3, −2) − (4, 0, 3) = (−9, −3, −5) m
Робота
W = F·d = 20·(−9) + (−30)·(−3) + 30·(−5) = −240 J
Відповідь
W = −240 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: V = 8
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·(−2) − (−1)·(−2) = −2
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·3 − 3·(−2) = 3
(b × c)z = bxcy − bycx = 3·(−2) − 0·3 = −6
Скалярний добуток з a
a·(b × c) = (−5)·(−2) + 0·3 + 3·(−6) = −8
V = |−8| = 8
Відповідь
V = 8
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = −8,125 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·4 = 65·2,5 + 65·6
RB = 552,5/4 = 138,1 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 65 + 65 − 138,1 = −8,125 kN
Відповідь
RA = −8,125 kN
RA від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.
4.Опорні реакції балок
Відповідь: α = 73,9 °
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Складові P
Pv = 20·sin 45° = 14,14 kN
Ph = 20·cos 45° = 14,14 kN
Реакції
ΣMA = 0: RB·10 = 14,14·4 + 45·1 → RB = 10,16 kN
Ay = 14,14 + 45 − 10,16 = 48,99 kN
Ax = Ph = 14,14 kN
Напрямок у A
α = atan(Ay/Ax) = atan(48,99/14,14) = 73,9°
Відповідь
α = 73,9°
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAB = −44,72 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 10 = 40 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −40/0,8944 = −44,72 kN
Відповідь
FAB = −44,72 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Рівновага шарніра B
2·Flink·sin 20° = 100
Flink = 146,2 N
Сила затиску
Q = Flink·cos 20° = 100/(2·tan 20°) = 137,4 N
Відповідь
Q = 137,4 N
Відношення сил Q/F = 1,374 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.
8.Рами та механізми
Відповідь: F = 2582 N
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Кут ланки
sin θ = 25/100 = 0,25, θ = 14,48°
Сила в ланці
Flink = Q/cos θ = 5164 N
Сила в B
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 2582 N
Відповідь
F = 2582 N
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: D (x = 6 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 51,33 kN, R2 = 40,67 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 94,67, MC = 173,3, MD = 236 kN·m, ME = 162,7, MF = 81,33, MG = 0
Відповідь
Позначка D: MD = 236 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: x0 = 2,9 m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·3·3,5
RB = 42/5 = 8,4 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 8,4 = 3,6 kN
Нульова поперечна сила
Поперечна сила починається з RA, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 3,6/4 = 2,9 m
Відповідь
x0 = 2,9 m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 171,3 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (36000·120 − 1963·96)/(36000 − 1963) = 121,4 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
150·240³/12 + 36000·−1,385² = 172,9 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−25,38² = 1,572 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 171,3 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 171,3 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Mallow = 2,058 kN·m
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.