Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
  3. Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

  1. Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
  2. Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
  3. Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
  4. Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
xyzab

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−7, −3, −2) і b = (−5, 2, −6).

a = (−7, −3, −2)b = (−5, 2, −6)
a·b =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
xyzabc

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (−5, 2, −2), b = (1, −3, −3) і c = (4, −2, 5).

a = (−5, 2, −2)b = (1, −3, −3)c = (4, −2, 5)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2,5 m1 m2,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP1 = 55 kN у 2,5 mP2 = 45 kN у 3,5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 5 mP = 50 kN у 2 mw = 2 kN/m від 2 до 4 m
RB = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB35 kN5 m3 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH30 kN35 kN40 kN4 × 4 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
7.Рами та механізмиСередня
10 kN4,8 m0,8 m1,2 m1,8 mABCDEK

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 2 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,8 м над землею. Вертикальне навантаження 10 кН діє на ногу AC у K на 1,8 м (по горизонталі) від A. Знайдіть натяг T у затяжці.

P = 10 kNAB = 4,8 mвисота C = 2 mвисота DE = 0,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,8 m
T = kN
8.Рами та механізмиСкладна
15 kN4,8 m0,8 m3,2 m1,44 mABCDEK

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 4 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,8 м над землею. Вертикальне навантаження 15 кН діє на ногу AC у K на 1,44 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 15 kNAB = 4,8 mвисота C = 4 mвисота DE = 0,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,44 m
C = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 60 kN·mAB2 m4 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 60 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM0 = 60 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 5 kN/mABC4 m2 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.

L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 4 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
B = 180H = 275t = 10xрозміри в mm

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 180 mm, зовнішню висоту H = 275 mm і сталу товщину стінки t = 10 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 180 mmH = 275 mmt = 10 mm
r = mm
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
120230183002214xрозміри в mm

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 120 × 18 mm, стінку висотою 300 mm і товщиною 14 mm та нижню полицю 230 × 22 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 120 × 18 mmстінка: 14 × 300 mmнижня полиця: 230 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = 41

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−7)·(−5) + (−3)·2 + (−2)·(−6) = 35 + (−6) + 12 = 41

Відповідь

a·b = 41

Додатний: кут між векторами менший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 51

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·5 − (−3)·(−2) = −21
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−3)·4 − 1·5 = −17
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·(−2) − (−3)·4 = 10

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = (−5)·(−21) + 2·(−17) + (−2)·10 = 51
V = |51| = 51

Відповідь

V = 51
3.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 49,17 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2,5 m1 m2,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·2,5 + 45·3,5
RB = 295/6 = 49,17 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 49,17 = 50,83 kN

Відповідь

RB = 49,17 kN
4.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 22,4 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m2 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·2 + 2·2·3
RB = 112/5 = 22,4 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 22,4 = 31,6 kN

Відповідь

RB = 22,4 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −25,24 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21 = 14 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −14/0,5547 = −25,24 kN

Відповідь

FAB = −25,24 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 3,75 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 61,25 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 12,37 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Рами та механізми

Відповідь: T = 7,5 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Уся рама: моменти відносно A

By = 10·1,8/4,8 = 3,75 kN

Нога BC: моменти відносно C

3,75·2,4 = T·1,2
T = 7,5 kN

Відповідь

T = 7,5 kN
8.Рами та механізми

Відповідь: C = 5,625 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Реакція опори в B

By = 15·1,44/4,8 = 4,5 kN

Сила в затяжці

T = 4,5·2,4/3,2 = 3,375 kN

Сила в шарнірі на BC

Cx = 3,375 kN, Cy = −4,5 kN
C = √(3,375² + 4,5²) = 5,625 kN

Відповідь

C = 5,625 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −20 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 60/6 = 10 kN (вгору)
RA = −RB = −10 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише RA.

Mx = RA·a = −10·2 = −20 kN·m

Відповідь

Mx = −20 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 5,625 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·6·3
RB = 90/4 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Нульова поперечна сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7,5/5 = 1,5 m

Максимальний додатний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7,5²/(2·5) = 5,625 kN·m

Відповідь

Mmax = 5,625 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 102,2 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 160 mm, h = 255 mm
A = BH − bh = 180·275 − 160·255 = 8700 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 9,087 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(9,087 × 10⁷/8700) = 102,2 mm

Відповідь

r = 102,2 mm
12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 198,1 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2160 mm², y = 331 mm
стінка: A = 4200 mm², y = 172 mm
нижня полиця: A = 5060 mm², y = 11 mm

Центр ваги

ȳ = (2160·331 + 4200·172 + 5060·11)/11420 = 130,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 120·18³/12 + 2160·200,3² = 8,669 × 10⁷ mm⁴
стінка: 14·300³/12 + 4200·41,26² = 3,865 × 10⁷ mm⁴
нижня полиця: 230·22³/12 + 5060·119,7² = 7,275 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,669 × 10⁷ + 3,865 × 10⁷ + 7,275 × 10⁷
Ix = 1,981 × 10⁸ mm⁴ = 198,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 198,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics