Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Стала сила F = (−15, 30, 5) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−5, 5, 5) до точки B(3, −3, 0). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.

F = (−15, 30, 5) NA(−5, 5, 5) mB(3, −3, 0) m

W = J

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (3, −5, −2), b = (−5, 1, −5) і c = (2, −1, 0).

a = (3, −5, −2)b = (−5, 1, −5)c = (2, −1, 0)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 55 kN у 1,5 mP₂ = 10 kN у 3 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 25 kN у 1,5 mw = 5 kN/m від 2 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 6 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. У C діє навантаження 10 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 10 kNAB = 4,8 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,8 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на висоті 2 м і на 3 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 4 кН у K на 1,2 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 4 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 4 kNQ = 4 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 3 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 10 kN у 7 mw = 4 kN/m від 0 до 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 170 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 340 mm і стінку товщиною 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 170 mmH = 340 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 100 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: W = −385 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Переміщення

d = B − A = (3, −3, 0) − (−5, 5, 5) = (8, −8, −5) m

Робота

W = F·d = (−15)·8 + 30·(−8) + 5·(−5) = −385 J

Відповідь

W = −385 J

Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 29

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·0 − (−5)·(−1) = −5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·2 − (−5)·0 = −10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−1) − 1·2 = 3

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 3·(−5) + (−5)·(−10) + (−2)·3 = 29

V = |29| = 29

Відповідь

V = 29

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 10·3

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 22,5 = 42,5 kN

Відповідь

R_B = 22,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 18,13 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 5·2·3

R_B = 67,5/4 = 16,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 16,88 = 18,13 kN

Відповідь

R_A = 18,13 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −20,96 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,8944 = −20,96 kN

Відповідь

F_BC = −20,96 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −39,13 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·6 + 25·4 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 35 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0,8944 = −39,13 kN

Відповідь

F_BC = −39,13 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 8,333 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 5 kN

T = 5·2,4/1,8 = 6,667 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 6,667 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Модуль

C = √(6,667² + 5²) = 8,333 kN

Відповідь

C = 8,333 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 1,44 kN

Напрям BC

BC = 2,828 m, cos = 0,7071, sin = 0,7071

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,7071·5 = 4·1,2 + 4·2

F_BC = 3,62 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 4 − 3,62·0,7071 = 0

A_x = −1,44 kN → |A_x| = 1,44 kN

Відповідь

A_x = 1,44 kN

Знак мінус означає, що A_x напрямлена ліворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 37,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 20·3 − 5·3·1,5 = 37,5 kN·m

Відповідь

M_x = 37,5 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 11,88 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·7 + 4·8·4

R_B = 198/8 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 24,75 = 17,25 kN

Розріжте в x = 7,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 17,25·7,5 − 10·(7,5 − 7) − 4·7,5·3,75 = 11,88 kN·m

Відповідь

M_x = 11,88 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 229 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 340 − 2·24 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·340³ − 158·292³)/12

I_x = 2,29 × 10⁸ mm⁴ = 229 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 229 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 1,83 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (7500·112,5 + 1200·50)/8700 = 103,9 mm

верхній край: c = 125 − 103,9 = 21,12 mm

Момент інерції перерізу

I = 300·25³/12 + 7500·8,621² + 12·100³/12 + 1200·53,88² = 5,432 × 10⁶ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 100·5,432 × 10⁶/21,12 = 25,72 kN·m

нижній край: M = 35·5,432 × 10⁶/103,9 = 1,83 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 1,83 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 1,83 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics