У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (15, −10, −15) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(2, −1, 3) до точки B(−5, 2, −3). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (15, −10, −15) NA(2, −1, 3) mB(−5, 2, −3) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Для a = (0, 2, 5) і b = (4, −5, −5) знайдіть z-компоненту (a × b)z векторного добутку a × b.
a = (0, 2, 5)b = (4, −5, −5)
(a × b)z =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 6 kN/m в A до нуля в B. Також на відстані 3 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 40 kN у 3 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть реакцію RD рухомої опори.
AC = 3 mAD = 8 mP = 10 kN у 4 mw = 2 kN/m від 3 до 8 mQ = 45 kN у 2 m
RD = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
F: 35 kN ↓F: 10 kN →H: 20 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
7.Рами та механізмиСередня
У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 12° з прямою AC. У B прикладена сила 300 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.
F = 300 Nθ = 12°
Q = N
8.Рами та механізмиСкладна
Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 1,2 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 4 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 5 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу FCD в розкосі.
w = 4 kN/mP = 5 kNAD = 1,5 mAB = 3 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 30 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mM0 = 30 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mP = 30 kN у 3 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 120 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 120 mmh = 300 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: W = −45 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (−5, 2, −3) − (2, −1, 3) = (−7, 3, −6) m
Робота
W = F·d = 15·(−7) + (−10)·3 + (−15)·(−6) = −45 J
Відповідь
W = −45 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: (a × b)z = −8
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток покомпонентно
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−5) − 5·(−5) = 15
(a × b)y = azbx − axbz = 5·4 − 0·(−5) = 20
(a × b)z = axby − aybx = 0·(−5) − 2·4 = −8
Потрібна компонента
(a × b)z = −8
Відповідь
(a × b)z = −8
Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 34 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·4 = 12·1,333 + 40·3
RB = 34 kN
RA = 52 − 34 = 18 kN
Відповідь
RB = 34 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RD = 7 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.
Ділянка CD
У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.
W = 2·5 = 10 kN у 2,5 m від C
ΣMC = 0: RD·5 = 10·1 + 10·2,5
RD = 7 kN
VC = 20 − 7 = 13 kN
Відповідь
RD = 7 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAB = −14,67 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 → Cy = 45,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 45,83 = 9,167 kN
Вузол A
Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9,167/0,6247 = −14,67 kN
Відповідь
FAB = −14,67 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Рівновага шарніра B
2·Flink·sin 12° = 300
Flink = 721,5 N
Сила затиску
Q = Flink·cos 12° = 300/(2·tan 12°) = 705,7 N
Відповідь
Q = 705,7 N
Відношення сил Q/F = 2,352 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.
8.Рами та механізми
Відповідь: FCD = 35,22 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Рівнодійна рівномірного навантаження
w·L = 4·3 = 12 kN у 1,5 m
Моменти відносно A для балки
FCD·0,6247·1,5 = 12·1,5 + 5·3 = 33 kN·m
FCD = 35,22 kN
Відповідь
FCD = 35,22 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = −18 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/5 = 6 kN (вгору)
RA = −RB = −6 kN (вниз)
Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту
Ліва частина містить лише RA.
Mx = RA·a = −6·3 = −18 kN·m
Відповідь
Mx = −18 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 60 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3 + 8·5·2,5
RB = 190/5 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 38 = 32 kN
Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 32·3 − 8·3·1,5 = 60 kN·m
Відповідь
Mx = 60 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 25,54 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
стінка: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (36000·150 − 1200·90)/(36000 − 1200) = 152,1 mm