Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (2, 6, −1) на b = (−4, −2, 1), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (2, 6, −1)b = (−4, −2, 1)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−3, −1, 4) і b = (−6, 4, −4) знайдіть z-компоненту (a × b)_z векторного добутку a × b.

a = (−3, −1, 4)b = (−6, 4, −4)

(a × b)_z =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 60 kN у 1 mP₂ = 60 kN у 8 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 6 m від A під кутом 40° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 10 mP = 75 kN у 6 m, θ = 40°Q = 30 kN у 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,8 м нижче від A. У B висить вантаж 15 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 15 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 1 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 12 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 12 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mw = 16 kN/m від 1 до 4 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 110 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 220 mmh = 110 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −4,583

Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Він дає кут між двома векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), і дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні. Скалярна проєкція a на b дорівнює a·b/|b|, а стала сила F на переміщенні d виконує роботу W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 2·(−4) + 6·(−2) + (−1)·1 = −21

Довжина b

|b| = √((−4)² + (−2)² + 1²) = 4,583

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −21/4,583 = −4,583

Відповідь

comp_b a = −4,583

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_z = −18

Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) перпендикулярний до обох векторів, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площа паралелограма, натягнутого на них (площа трикутника — половина). Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, прикладеної в точці A, відносно точки O дорівнює M_O = r × F, де r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−4) − 4·4 = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−6) − (−3)·(−4) = −36

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − (−1)·(−6) = −18

Потрібна компонента

(a × b)_z = −18

Відповідь

(a × b)_z = −18

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 90 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 60·8

R_B = 540/6 = 90 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 60 + 60 − 90 = 30 kN

Відповідь

R_B = 90 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 70,17 kN

Складові P

P_v = 75·sin 40° = 48,21 kN

P_h = 75·cos 40° = 57,45 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·10 = 48,21·6 + 30·3 → R_B = 37,93 kN

A_y = 48,21 + 30 − 37,93 = 40,28 kN

A_x = P_h = 57,45 kN

Повна реакція в A

R_A = √(57,45² + 40,28²) = 70,17 kN

Відповідь

R_A = 70,17 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 13,13 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·7 → C_y = 39,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 39,38 = 5,625 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −39,38/0,9487 = −41,5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41,5)·0,3162 = 13,13 kN

Відповідь

F_AC = 13,13 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −31,55 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 − 30·2 → C_y = −7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −7,5 = 17,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17,5/0,5547 = −31,55 kN

Відповідь

F_AB = −31,55 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 52 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 15·2,5/(0,6247·1) = 60,03 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 46,87 kN (до стіни)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −22,5 kN

Модуль

A = √(46,87² + −22,5²) = 52 kN

Відповідь

A = 52 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 75 kN

Натяг каната

T = (12 + 1/2)/0,1644 = 76,03 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 75 kN

A_y = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Модуль

A = √(75² + 0,5²) = 75 kN

Відповідь

A = 75 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −36 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 60 − 12·8 = −36 kN

Відповідь

V_x = −36 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 52,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·3·2,5

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 20 = 28 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 28/16 = 2,75 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 28·2,75 − 16·1,75²/2 = 52,5 kN·m

Відповідь

M_max = 52,5 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 31,91 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 220·12 = 2640 mm², y₁ = 6 mm

дві полиці: A₂ = 2·12·98 = 2352 mm², y₂ = 12 + 98/2 = 61 mm

Центр ваги

ȳ = (2640·6 + 2352·61)/4992 = 31,91 mm

Відповідь

ȳ = 31,91 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 19,94 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

стінка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·295 + 5600·140)/13400 = 230,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·30³/12 + 7800·(295 − 230,2)² = 3,331 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 230,2)² = 8,217 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,331 × 10⁷ + 8,217 × 10⁷ = 1,155 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 230,2 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·230,2/1,155 × 10⁸ = 19,94 MPa

Відповідь

σ_низ = 19,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics