Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (−2, 4, −4) на b = (−1, 0, −6), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (−2, 4, −4)b = (−1, 0, −6)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(1, −3, 0), B(0, 1, 1) і C(1, 1, 4). Координати подано в метрах.

A(1, −3, 0)B(0, 1, 1)C(1, 1, 4)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 35 kN у 3 mP₂ = 45 kN у 4 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 10 kN у 2 mw = 8 kN/m від 0 до 1 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

У показаному колінно-важільному затискачі дві однакові ланки AB і BC з’єднані шарніром у B, і кожна становить 8° з прямою AC. У B прикладена сила 500 Н, напрямлена вниз. Повзун C тисне на заготовку. Нехтуючи тертям і вагою, знайдіть горизонтальну силу затиску Q.

F = 500 Nθ = 8°

Q = N

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на висоті 2 м і на 0,75 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 20 кН у K на 0,5625 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 6 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 20 kNQ = 6 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальна відстань від A до B = 0,75 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,5625 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 3 kN/m від 0 до 10 mx = 3 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 24 kN/m від 4 до 6 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 45 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = 4,274

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−2)·(−1) + 4·0 + (−4)·(−6) = 26

Довжина b

|b| = √((−1)² + 0² + (−6)²) = 6,083

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = 26/6,083 = 4,274

Відповідь

comp_b a = 4,274

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 6,633 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−1, 4, 1)

AC = C − A = (0, 4, 4)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·4 − 1·4 = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·0 − (−1)·4 = 4

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·4 − 4·0 = −4

|AB × AC| = √(12² + 4² + (−4)²) = 13,27

Площа трикутника

A = ½·13,27 = 6,633 m²

Відповідь

A = 6,633 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 57 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 45·4

R_B = 285/5 = 57 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 57 = 23 kN

Відповідь

R_B = 57 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 6 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, прикладена в x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 8·1·0,5

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 6 = 12 kN

Відповідь

R_B = 6 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 16,04 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·1 → C_y = 6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,875/0,3939 = −17,45 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,45)·0,9191 = 16,04 kN

Відповідь

F_AC = 16,04 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −61,97 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·5 + 25·2 → C_y = 34,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 34,38 = 10,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −34,38/0,5547 = −61,97 kN

Відповідь

F_BC = −61,97 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: Q = 1779 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Рівновага шарніра B

2·F_link·sin 8° = 500

F_link = 1796 N

Сила затиску

Q = F_link·cos 8° = 500/(2·tan 8°) = 1779 N

Відповідь

Q = 1779 N

Відношення сил Q/F = 3,558 необмежено зростає, коли ланки випрямляються.

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 3,881 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Напрям BC

BC = 4,697 m, cos = 0,9048, sin = 0,4258

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,4258·5 = 20·0,5625 + 6·2

F_BC = 10,92 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 6 − 10,92·0,9048 = 0

A_x = 3,881 kN → |A_x| = 3,881 kN

Відповідь

A_x = 3,881 kN

A_x напрямлена праворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 6 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 15 − 3·3 = 6 kN

Відповідь

V_x = 6 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 108 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·2·5

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 24/24 = 5 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 24·5 − 24·1²/2 = 108 kN·m

Відповідь

M_max = 108 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 706,9·52,5)/(15000 − 706,9) = 76,11 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,113² = 28,14 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−23,61² = 0,4339 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 1200·45)/(18000 − 1200) = 77,14 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,143² = 33,83 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·−32,14² = 1,4 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics