У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть кут θ між векторами a = (−2, −4, −4) і b = (−1, −4, 2) у градусах.
a = (−2, −4, −4)b = (−1, −4, 2)
θ = °
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Для a = (1, 3, 5) і b = (6, −3, −6) знайдіть z-компоненту (a × b)z векторного добутку a × b.
a = (1, 3, 5)b = (6, −3, −6)
(a × b)z =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 10 kN у 2 mP2 = 55 kN у 8 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 10 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 5,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.
L = 6 mw0 = 10 kN/mP = 65 kN у 5,5 m
MA = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
D: 20 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←
FBC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,6 м нижче від A. У B висить вантаж 4 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.
P = 4 kNAD = 2 mAB = 2,5 mAC = 0,6 m
A = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 5 кН. Знайдіть натяг T каната.
W = 5 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 1 m
T = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 8 mw = 8 kN/m від 0 до 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
30 kN @ 6 m45 kN @ 1 m6 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 320 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його пружний момент опору Sx при згині відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 150 mmH = 320 mmtf = 12 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = (−2)·(−1) + (−4)·(−4) + (−4)·2 = 10
Модулі
|a| = √((−2)² + (−4)² + (−4)²) = 6
|b| = √((−1)² + (−4)² + 2²) = 4,583
Кут
cos θ = 10/(6·4,583) = 0,3637
θ = arccos(0,3637) = 68,67°
Відповідь
θ = 68,67°
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: (a × b)z = −21
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток покомпонентно
(a × b)x = aybz − azby = 3·(−6) − 5·(−3) = −3
(a × b)y = azbx − axbz = 5·6 − 1·(−6) = 36
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−3) − 3·6 = −21
Потрібна компонента
(a × b)z = −21
Відповідь
(a × b)z = −21
Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 76,67 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2 + 55·8
RB = 460/6 = 76,67 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 10 + 55 − 76,67 = −11,67 kN
Відповідь
RB = 76,67 kN
RA від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.
4.Опорні реакції балок
Відповідь: MA = 417,5 kN·m
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Рівнодійна трикутного навантаження
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Момент відносно стіни
MA = W·x̄ + P·a = 30·2 + 65·5,5 = 417,5 kN·m
Відповідь
MA = 417,5 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент BF
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол B
AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 − 20·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 22,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Сила в розкосі
FCD = 4·2,5/(0,2873·2) = 17,4 kN
Складові в A
Ax = FCD·cos α = 16,67 kN (до стіни)
Ay = 4 − FCD·sin α = −1 kN
Модуль
A = √(16,67² + −1²) = 16,7 kN
Відповідь
A = 16,7 kN
Від’ємне Ay означає, що стіна тягне балку вниз у A.
8.Рами та механізми
Відповідь: T = 13,42 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Кут каната
BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472
Моменти відносно A
T·0,4472·2 = 5·2 + 2·1
T = 13,42 kN
Відповідь
T = 13,42 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 48 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 32·2 − 8·2·1 = 48 kN·m
Відповідь
Mx = 48 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: B (x = 1 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 45 kN, R2 = 60 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 42 kN·m, MC = 33, MD = 18, ME = −3, MF = −30, MG = 0
Відповідь
Позначка B: MB = 42 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Sx = 641,9 × 10³ mm³
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 280 + 15/2 = 287,5 mm
стінка: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm