Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (−3, 0, 1) на b = (6, 3, −5), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (−3, 0, 1)b = (6, 3, −5)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Для a = (−6, −5, 3) і b = (−2, 6, 3) знайдіть x-компоненту (a × b)_x векторного добутку a × b.

a = (−6, −5, 3)b = (−2, 6, 3)

(a × b)_x =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 6 kN/m у B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 20 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 4 mw₀ = 20 kN/mP = 65 kN у 4 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓C: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓H: 40 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 4,8 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,5 м, а горизонтальна затяжка DE на 0,6 м над землею. У C діє навантаження 6 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 6 kNAB = 4,8 mвисота C = 2,5 mвисота DE = 0,6 m

C = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Балка AB показаного настінного кронштейна закріплена шарніром у A і підперта розкосом CD (C на 0,75 м нижче від A). Балка несе рівномірне навантаження 2,5 кН/м по всій довжині та зосереджене навантаження 8 кН на вільному кінці B. Знайдіть силу F_CD в розкосі.

w = 2,5 kN/mP = 8 kNAD = 0,75 mAB = 1,5 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 0 m40 kN @ 6 m25 kN @ 2 m4 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 140 × 14 mm, стінку висотою 220 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 210 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 140 × 14 mmстінка: 16 × 220 mmнижня полиця: 210 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = −2,749

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = (−3)·6 + 0·3 + 1·(−5) = −23

Довжина b

|b| = √(6² + 3² + (−5)²) = 8,367

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = −23/8,367 = −2,749

Відповідь

comp_b a = −2,749

Від’ємна: a має компоненту, напрямлену проти b.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: (a × b)_x = −33

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток покомпонентно

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·3 − 3·6 = −33

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−2) − (−6)·3 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·6 − (−5)·(−2) = −46

Потрібна компонента

(a × b)_x = −33

Відповідь

(a × b)_x = −33

Перевірка: a × b перпендикулярний до обох векторів, тож його скалярний добуток з a і з b дорівнює нулю.

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·2,667

R_B = 8 kN

R_A = 12 − 8 = 4 kN

Відповідь

R_B = 8 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 366,7 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·4 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 65·4 = 366,7 kN·m

Відповідь

M_A = 366,7 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 57,5 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10,61 kN (T), HC: 45,96 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 1,667 kN (T), BC: 43,33 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 38,33 kN (T), FG: 41,67 kN (C), GH: 78,33 kN (C), AF: 52,08 kN (C), HE: 47,92 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 52,08 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: C = 4,833 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в затяжці з ноги BC

B_y = 3 kN

T = 3·2,4/1,9 = 3,789 kN

Складові сили в шарнірі на BC

C_x = T = 3,789 kN, C_y = −B_y = −3 kN

Модуль

C = √(3,789² + 3²) = 4,833 kN

Відповідь

C = 4,833 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: F_CD = 27,93 kN

Рівнодійна рівномірного навантаження

w·L = 2,5·1,5 = 3,75 kN у 0,75 m

Моменти відносно A для балки

F_CD·0,7071·0,75 = 3,75·0,75 + 8·1,5 = 14,81 kN·m

F_CD = 27,93 kN

Відповідь

F_CD = 27,93 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 34,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 20·5,5 − 5·5,5·2,75 = 34,38 kN·m

Відповідь

M_x = 34,38 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 60,5 kN, R₂ = 55,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −11,5, M_D = −17, M_E = −26,5, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −40 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 2,94 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стінка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·105 + 1400·50)/2400 = 72,92 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·10³/12 + 1000·(105 − 72,92)² = 1,038 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 72,92)² = 1,902 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,038 × 10⁶ + 1,902 × 10⁶ = 2,94 × 10⁶ mm⁴ = 2,94 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 2,94 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 68,83 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1960 mm², y = 237 mm

стінка: A = 3520 mm², y = 120 mm

нижня полиця: A = 2100 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (1960·237 + 3520·120 + 2100·5)/7580 = 118,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 140·14³/12 + 1960·118,6² = 2,76 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·220³/12 + 3520·1,607² = 1,421 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 210·10³/12 + 2100·113,4² = 2,702 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,76 × 10⁷ + 1,421 × 10⁷ + 2,702 × 10⁷

I_x = 6,883 × 10⁷ mm⁴ = 68,83 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 68,83 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics