Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (3, 1, −7) на b = (4, 4, 2), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (3, 1, −7)b = (4, 4, 2)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(0, −4, 0), B(1, 2, 2) і C(−3, 2, −4). Координати подано в метрах.

A(0, −4, 0)B(1, 2, 2)C(−3, 2, −4)

A = m²

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP₁ = 35 kN у 2 mP₂ = 50 kN у 2,5 m

R_B = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 10 kN у 2 mw = 5 kN/m від 0 до 2 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 25 kN ↓F: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

D: 35 kN ↓F: 15 kN →G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Рами та механізмиСередня

Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 100 Н у A (на 150 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 80 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра F_O.

F = 100 NOA = 150 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Рами та механізмиСкладна

Колінно-важільний прес має дві однакові ланки AB і BC довжиною 120 мм між шарнірами. Шарнір B розташований на 5 мм над прямою AC. Яка сила F, напрямлена вниз у B, створює горизонтальну силу тиску 2500 Н на повзуні C? Знехтуйте тертям і вагою.

Q = 2500 NAB = BC = 120 mmh = 5 mm

F = N

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 7,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 7,5 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 35 kN у 3,5 mw = 8 kN/m від 0 до 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = 0,3333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 3·4 + 1·4 + (−7)·2 = 2

Довжина b

|b| = √(4² + 4² + 2²) = 6

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = 2/6 = 0,3333

Відповідь

comp_b a = 0,3333

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: A = 21,66 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (1, 6, 2)

AC = C − A = (−3, 6, −4)

Векторний добуток

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 6·(−4) − 2·6 = −36

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·(−3) − 1·(−4) = −2

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·6 − 6·(−3) = 24

|AB × AC| = √((−36)² + (−2)² + 24²) = 43,31

Площа трикутника

A = ½·43,31 = 21,66 m²

Відповідь

A = 21,66 m²

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 32,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 50·2,5

R_B = 195/6 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 32,5 = 52,5 kN

Відповідь

R_B = 32,5 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 7,5 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, прикладена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 5·2·1

R_B = 30/4 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 7,5 = 12,5 kN

Відповідь

R_B = 7,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 32,81 kN (T), BC: 31,87 kN (T), CD: 31,87 kN (T), DE: 30,94 kN (T), FG: 32,81 kN (C), GH: 30,94 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 51,56 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 1,563 kN (T), DG: 1,563 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 51,25 kN (T), BC: 87,5 kN (T), CD: 87,5 kN (T), DE: 83,75 kN (T), FG: 51,25 kN (C), GH: 83,75 kN (C), AF: 45,31 kN (C), HE: 104,7 kN (C), BF: 27,19 kN (T), CG: 0, DH: 37,81 kN (T), BG: 45,31 kN (C), DG: 4,688 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Рами та механізми

Відповідь: F_O = 212,5 N

Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а F_in·a = F_out·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 100·150/80 = 187,5 N

Реакція шарніра

O_x = 187,5 N, O_y = 100 N

F_O = √(187,5² + 100²) = 212,5 N

Відповідь

F_O = 212,5 N

8.Рами та механізми

Відповідь: F = 208,5 N

Кут ланки

sin θ = 5/120 = 0,04167, θ = 2,388°

Сила в ланці

F_link = Q/cos θ = 2502 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 208,5 N

Відповідь

F = 208,5 N

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −20 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Розріжте в x = 7,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 40 − 8·7,5 = −20 kN

Відповідь

V_x = −20 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 86,04 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3,5 + 8·6·3

R_B = 266,5/6 = 44,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 44,42 = 38,58 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 38,58·3,5 − 8·3,5·1,75 = 86,04 kN·m

Відповідь

M_x = 86,04 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 10,72 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·155 + 1400·70)/6800 = 137,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·30³/12 + 5400·(155 − 137,5)² = 2,059 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 137,5)² = 8,665 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,059 × 10⁶ + 8,665 × 10⁶ = 1,072 × 10⁷ mm⁴ = 10,72 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 10,72 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 136,6 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стінка: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·245 + 4800·120)/7000 = 159,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·10³/12 + 2200·(245 − 159,3)² = 1,618 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·240³/12 + 4800·(120 − 159,3)² = 3,045 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,618 × 10⁷ + 3,045 × 10⁷ = 4,663 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 159,3 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·159,3/4,663 × 10⁷ = 136,6 MPa

Відповідь

σ_низ = 136,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics