Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−2, 2, 5) і b = (2, −5, −1).

a = (−2, 2, 5)b = (2, −5, −1)

a·b =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (−30, −10, 60) N діє в точці A(−1, 2, 4). Координати подано в метрах. Знайдіть z-компоненту M_z моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (−30, −10, 60) NA(−1, 2, 4) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 3,5 m і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 5 mP = 80 kN у 4 mw = 2 kN/m від 0 до 3,5 m

M_A = kN·m

4.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 6 m до вільного кінця в 10 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP = 35 kN у 5 mw = 10 kN/m від 6 до 10 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,6 м нижче від A. У B висить вантаж 8 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 8 kNAD = 1,2 mAB = 3,6 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 4 м одна від одної, а B розташований на висоті 2,5 м і на 2,4 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 5 кН у K на 1,2 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 10 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції A_x у A.

P = 5 kNQ = 10 kNL = 4 mH = 2,5 mгоризонтальна відстань від A до B = 2,4 mгоризонтальна відстань від A до K = 1,2 m

A_x = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 10 m30 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP = 65 kN у 1,5 mw = 5 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 180 mm і товщиною 20 mm, повну висоту 320 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 180 mmH = 320 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: a·b = −19

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножте відповідні компоненти й додайте

a·b = (−2)·2 + 2·(−5) + 5·(−1) = (−4) + (−10) + (−5) = −19

Відповідь

a·b = −19

Від’ємний: кут між векторами більший за 90°.

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: M_z = 70 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (−1, 2, 4) − (0, 0, 0) = (−1, 2, 4) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·60 − 4·(−10) = 160 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·(−30) − (−1)·60 = −60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−10) − 2·(−30) = 70 N·m

Потрібна компонента

M_z = 70 N·m

Відповідь

M_z = 70 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 332,3 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = 1,75 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 80·4 + 7·1,75 = 332,3 kN·m

Відповідь

M_A = 332,3 kN·m

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = −7,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·5 + 40·8

R_B = 495/6 = 82,5 kN

R_A = 75 − 82,5 = −7,5 kN

Відповідь

R_A = −7,5 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 6,25 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,76)·0,3162 = 6,25 kN

Відповідь

F_AC = 6,25 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −25,24 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·3 − 15·2 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 9,375 = 25,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол C

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9,375/0,3714 = −25,24 kN

Відповідь

F_BC = −25,24 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 50,6 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 8·3,6/(0,4472·1,2) = 53,67 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 48 kN (до стіни)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −16 kN

Модуль

A = √(48² + −16²) = 50,6 kN

Відповідь

A = 50,6 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: A_x = 5,04 kN

Напрям BC

BC = 2,968 m, cos = 0,5391, sin = 0,8423

Уся рама: моменти відносно A

F_BC·0,8423·4 = 5·1,2 + 10·2,5

F_BC = 9,201 kN

Горизонтальний баланс

A_x + 10 − 9,201·0,5391 = 0

A_x = −5,04 kN → |A_x| = 5,04 kN

Відповідь

A_x = 5,04 kN

Знак мінус означає, що A_x напрямлена ліворуч.

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 26,67, M_C = 53,33, M_D = 80, M_E = 106,7 kN·m, M_F = 73,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 106,7 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 81,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·1,5 + 5·5·2,5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 32 = 58 kN

Де V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 50,5 kN

V(1,5⁺) = 50,5 − 65 = −14,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 58·1,5 − 5·1,5²/2 = 81,38 kN·m

Відповідь

M_max = 81,38 kN·m

Це в точці x = 1,5 m від A.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 1083 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 320 − 2·20 = 280 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·320³ − 174·280³)/12

I_x = 1,732 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,732 × 10⁸/160

S_x = 1,083 × 10⁶ mm³ = 1083 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 1083 × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1200·97,5)/(15000 − 1200) = 73,04 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·1,957² = 28,18 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·24,46² = 0,8777 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics