У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть кут θ між векторами a = (−2, 4, −1) і b = (−3, 6, −3) у градусах.
a = (−2, 4, −1)b = (−3, 6, −3)
θ = °
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(0, −1, 2), B(4, −1, −3) і C(−1, 3, 2). Координати подано в метрах.
A(0, −1, 2)B(4, −1, −3)C(−1, 3, 2)
A = m²
3.Опорні реакції балокСередня
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.
L = 6 mP = 15 kN у 4 mw = 6 kN/m від 0 до 6 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 6 mP = 40 kN у 1,5 mw = 8 kN/m від 4 до 5 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,2 м нижче від A. У B висить вантаж 12 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.
P = 12 kNAD = 2 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 2,4 м і стягнуті горизонтальною затяжкою DE на висоті 1,2 м. У C діє горизонтальна сила 15 кН праворуч. Знайдіть натяг T у затяжці.
P = 15 kNAB = 3 mвисота C = 2,4 mвисота DE = 1,2 m
T = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mw = 12 kN/m від 0 до 6 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
30 kN @ 0 m35 kN @ 6 m10 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 60 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент Mallow, який може витримати балка (вкажіть його величину).
Скалярний добуток:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Він дає кут між двома векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), і дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні. Скалярна проєкція a на b дорівнює a·b/|b|, а стала сила F на переміщенні d виконує роботу W = F·d.
Скалярний добуток
a·b = (−2)·(−3) + 4·6 + (−1)·(−3) = 33
Модулі
|a| = √((−2)² + 4² + (−1)²) = 4,583
|b| = √((−3)² + 6² + (−3)²) = 7,348
Кут
cos θ = 33/(4,583·7,348) = 0,98
θ = arccos(0,98) = 11,49°
Відповідь
θ = 11,49°
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: A = 13,05 m²
Векторний добуток:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) перпендикулярний до обох векторів, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площа паралелограма, натягнутого на них (площа трикутника — половина). Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, прикладеної в точці A, відносно точки O дорівнює MO = r × F, де r = A − O.
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Рівнодійна розподіленого навантаження
W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m
Рівновага по вертикалі
RA = P + W = 15 + 36 = 51 kN
Відповідь
RA = 51 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 32 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1,5 + 8·1·4,5
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 16 = 32 kN
Відповідь
RA = 32 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAC = 9 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9 = 6 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 + 30·3 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 15,63 = 19,38 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Сила в розкосі
FCD = 12·2,4/(0,5145·2) = 27,99 kN
Складові в A
Ax = FCD·cos α = 24 kN (до стіни)
Ay = 12 − FCD·sin α = −2,4 kN
Модуль
A = √(24² + −2,4²) = 24,12 kN
Відповідь
A = 24,12 kN
Від’ємне Ay означає, що стіна тягне балку вниз у A.
8.Рами та механізми
Відповідь: T = 15 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Уся рама: моменти відносно A
By·3 = 15·2,4
By = 12 kN
Нога BC: моменти відносно C
12·1,5 = T·1,2
T = 15 kN
Відповідь
T = 15 kN
Додатне T означає, що затяжка розтягнута, як і припущено.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 16,5 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 36·5,5 − 12·5,5·2,75 = 16,5 kN·m
Відповідь
Mx = 16,5 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: F (x = 5 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 48,75 kN, R2 = 56,25 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = −30, MC = −16,25, MD = −12,5, ME = −18,75, MF = −35 kN·m, MG = 0
Відповідь
Позначка F: MF = −35 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 220,4 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (30000·150 − 1963·105)/(30000 − 1963) = 153,2 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
100·300³/12 + 30000·−3,152² = 225,3 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−48,15² = 4,859 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 220,4 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 220,4 × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Mallow = 15,68 kN·m
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.