Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть кут θ між векторами a = (0, 6, −2) і b = (−1, −1, 5) у градусах.

a = (0, 6, −2)b = (−1, −1, 5)

θ = °

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (2, −3, −4), b = (−4, 5, 5) і c = (−1, 3, 0).

a = (2, −3, −4)b = (−4, 5, 5)c = (−1, 3, 0)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mP₁ = 20 kN у 1 mP₂ = 60 kN у 8 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP = 30 kN у 3 mw = 4 kN/m від 1 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →

F_AB = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 1,5 м нижче від A. У B висить вантаж 8 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 8 kNAD = 1,5 mAB = 2,4 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 3 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3,6 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,8 м над землею. Вертикальне навантаження 15 кН діє на ногу AC у K на 0,375 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.

P = 15 kNAB = 3 mвисота C = 3,6 mвисота DE = 1,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,375 m

C = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2,5 m від A. Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2,5 mP = 40 kN у 2,5 mw = 5 kN/m від 0 до 2,5 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 20 kN у 2,5 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: θ = 119,1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 0·(−1) + 6·(−1) + (−2)·5 = −16

Модулі

|a| = √(0² + 6² + (−2)²) = 6,325

|b| = √((−1)² + (−1)² + 5²) = 5,196

Кут

cos θ = −16/(6,325·5,196) = −0,4869

θ = arccos(−0,4869) = 119,1°

Відповідь

θ = 119,1°

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 13

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·0 − 5·3 = −15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·(−1) − (−4)·0 = −5

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·3 − 5·(−1) = −7

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 2·(−15) + (−3)·(−5) + (−4)·(−7) = 13

V = |13| = 13

Відповідь

V = 13

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 30 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·1 + 60·8

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 50 = 30 kN

Відповідь

R_A = 30 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 28,75 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 4·4·3

R_B = 138/8 = 17,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 17,25 = 28,75 kN

Відповідь

R_A = 28,75 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 16,25 kN (T), BC: 16,25 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 22,98 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 22,98 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −44,72 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·1 + 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 10 = 40 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −40/0,8944 = −44,72 kN

Відповідь

F_AB = −44,72 kN (стиск)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 13,67 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 8·2,4/(0,7071·1,5) = 18,1 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 12,8 kN (до стіни)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −4,8 kN

Модуль

A = √(12,8² + −4,8²) = 13,67 kN

Відповідь

A = 13,67 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: C = 2,441 kN

Реакція опори в B

B_y = 15·0,375/3 = 1,875 kN

Сила в затяжці

T = 1,875·1,5/1,8 = 1,563 kN

Сила в шарнірі на BC

C_x = 1,563 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(1,563² + 1,875²) = 2,441 kN

Відповідь

C = 2,441 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −20,63 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −40·0,5 = −20 kN·m

w: −5·0,5²/2 = −0,625 kN·m

M_x = −20 − 0,625 = −20,63 kN·m

Відповідь

M_x = −20,63 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 34,38 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2,5 + 3·5·2,5

R_B = 87,5/5 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 17,5 = 17,5 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 17,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 34,38 kN·m

Відповідь

M_x = 34,38 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 29,13 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стінка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·227,5 + 2640·110)/5340 = 169,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·15³/12 + 2700·(227,5 − 169,4)² = 9,162 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 169,4)² = 1,997 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,162 × 10⁶ + 1,997 × 10⁷ = 2,913 × 10⁷ mm⁴ = 29,13 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 29,13 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 64,01 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стінка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·245 + 2880·120)/5280 = 176,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(245 − 176,8)² = 1,118 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 176,8)² = 2,312 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,118 × 10⁷ + 2,312 × 10⁷ = 3,43 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 250 − 176,8 = 73,18 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·73,18/3,43 × 10⁷ = 64,01 MPa

Відповідь

σ_верх = 64,01 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics