У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−4, 6, −4) і b = (−2, 3, 3).
a = (−4, 6, −4)b = (−2, 3, 3)
a·b =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (5, 2, 5), b = (4, 2, 0) і c = (−4, 0, −1).
a = (5, 2, 5)b = (4, 2, 0)c = (−4, 0, −1)
V =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 80 kN у 2 mP2 = 25 kN у 6 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.
L = 10 mP = 40 kN у 5 mw = 6 kN/m від 0 до 3 m
RA = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAC = kN
7.Рами та механізмиСередня
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2,4 м одна від одної. Ноги сходяться в шарнірі C на висоті 3 м, а горизонтальна затяжка DE на 1 м над землею. У C діє навантаження 10 кН. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 10 kNAB = 2,4 mвисота C = 3 mвисота DE = 1 m
C = kN
8.Рами та механізмиСкладна
Показана А-подібна рама стоїть на шарнірній опорі в A і котковій опорі в B на відстані 2 м одна від одної; її верхній шарнір C на висоті 3 м, а горизонтальна затяжка DE на 1,2 м над землею. Вертикальне навантаження 10 кН діє на ногу AC у K на 0,25 м (по горизонталі) від A. Знайдіть модуль сили C, з якою шарнір C діє на ногу BC.
P = 10 kNAB = 2 mвисота C = 3 mвисота DE = 1,2 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,25 m
C = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент MB на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 8 mP1 = 20 kN у 1 mP2 = 35 kN у 8 mопори в x = 0 і x = 6 m
MB = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
15 kN @ 12 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 200 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 160 mm. Основа й полиці мають товщину 10 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.
b = 200 mmh = 160 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 20 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Розчини
1.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: a·b = 14
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−1) − 0·0 = −2
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·(−4) − 4·(−1) = 4
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·0 − 2·(−4) = 8
Скалярний добуток з a
a·(b × c) = 5·(−2) + 2·4 + 5·8 = 38
V = |38| = 38
Відповідь
V = 38
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 27,5 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·4 = 80·2 + 25·6
RB = 310/4 = 77,5 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 80 + 25 − 77,5 = 27,5 kN
Відповідь
RA = 27,5 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 35,3 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·5 + 6·3·1,5
RB = 227/10 = 22,7 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 22,7 = 35,3 kN
Відповідь
RA = 35,3 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·1 + 30·4 → Cy = 20,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 20,63 = 24,38 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Сила в затяжці з ноги BC
By = 5 kN
T = 5·1,2/2 = 3 kN
Складові сили в шарнірі на BC
Cx = T = 3 kN, Cy = −By = −5 kN
Модуль
C = √(3² + 5²) = 5,831 kN
Відповідь
C = 5,831 kN
8.Рами та механізми
Відповідь: C = 1,43 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Реакція опори в B
By = 10·0,25/2 = 1,25 kN
Сила в затяжці
T = 1,25·1/1,8 = 0,6944 kN
Сила в шарнірі на BC
Cx = 0,6944 kN, Cy = −1,25 kN
C = √(0,6944² + 1,25²) = 1,43 kN
Відповідь
C = 1,43 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: MB = −70 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 35·8
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 50 = 5 kN
Переріз у B, залишаємо консоль
На консоль діє лише P2 із плечем a. Вона згинає балку над опорою опуклістю догори (від’ємний момент).
MB = −P2·a = −35·2 = −70 kN·m
Відповідь
MB = −70 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: C (x = 4 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 97 kN, R2 = 88 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 170, MC = 192 kN·m, MD = 166, ME = 92, MF = −30, MG = 0
Відповідь
Позначка C: MC = 192 kN·m
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: ȳ = 53 mm
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Розділіть на прямокутники
Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.
основа: A1 = 200·10 = 2000 mm², y1 = 5 mm
дві полиці: A2 = 2·10·150 = 3000 mm², y2 = 10 + 150/2 = 85 mm
Центр ваги
ȳ = (2000·5 + 3000·85)/5000 = 53 mm
Відповідь
ȳ = 53 mm
12.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 26,91 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (15000·75 − 1200·105)/(15000 − 1200) = 72,39 mm