Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть скалярну проєкцію comp_b a вектора a = (3, 4, 3) на b = (2, 3, −3), тобто компоненту a у напрямі b.

a = (3, 4, 3)b = (2, 3, −3)

comp_b a =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Знайдіть об’єм V паралелепіпеда, ребра якого з однієї вершини — a = (1, 0, −3), b = (2, 1, −1) і c = (−2, 1, −1).

a = (1, 0, −3)b = (2, 1, −1)c = (−2, 1, −1)

V =

3.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 10 kN у 3,5 mP₂ = 80 kN у 5 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP = 40 kN у 6 mw = 10 kN/m від 6 до 8 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 5 м одна від одної, а B розташований на 3 м над землею і на 0,75 м праворуч від A. Вертикальне навантаження 15 кН діє на стрижень AB у K на 0,375 м (по горизонталі) від A. Знайдіть силу F_BC у стрижні BC.

P = 15 kNL = 5 mH = 3 mгоризонтальна відстань від A до B = 0,75 mгоризонтальна відстань від A до K = 0,375 m

F_BC = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 0,5 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від її кінця B до точки C на стіні на 1 м вище від A. У B висить вантаж 6 кН. Знайдіть натяг T каната.

W = 6 kNW_b = 0,5 kNAB = 2,5 mAC = 1 m

T = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 12 kN/m від 0 до 8 mx = 1,5 m

V_x = kN

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 35 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: comp_b a = 1,919

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток

a·b = 3·2 + 4·3 + 3·(−3) = 9

Довжина b

|b| = √(2² + 3² + (−3)²) = 4,69

Скалярна проєкція

comp_b a = a·b/|b| = 9/4,69 = 1,919

Відповідь

comp_b a = 1,919

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: V = 12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторний добуток b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·(−1) − (−1)·1 = 0

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·(−2) − 2·(−1) = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·1 − 1·(−2) = 4

Скалярний добуток з a

a·(b × c) = 1·0 + 0·4 + (−3)·4 = −12

V = |−12| = 12

Відповідь

V = 12

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = −18,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3,5 + 80·5

R_B = 435/4 = 108,8 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 10 + 80 − 108,8 = −18,75 kN

Відповідь

R_A = −18,75 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 47,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, прикладена в x̄ = 7 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 10·2·7

R_B = 380/8 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 47,5 = 12,5 kN

Відповідь

R_B = 47,5 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −8,975 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,3714 = −8,975 kN

Відповідь

F_BC = −8,975 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 20,31 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 + 25·4 → C_y = 16,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 16,25 = −6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,25/0,6247 = −26,01 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−26,01)·0,7809 = 20,31 kN

Відповідь

F_AC = 20,31 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: F_BC = 1,951 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Двосиловий стрижень BC

BC = √(4,25² + 3²) = 5,202 m

Уся рама: моменти відносно A

Земля штовхає BC у C вздовж CB; її горизонтальна складова проходить через A, момент має лише вертикальна.

F_BC·(3/5,202)·5 = 15·0,375

F_BC = 1,951 kN (стиск)

Відповідь

F_BC = 1,951 kN

8.Рами та механізми

Відповідь: T = 16,83 kN

Кут каната

BC = √(2,5² + 1²) = 2,693 m, sin β = 0,3714

Моменти відносно A

T·0,3714·2,5 = 6·2,5 + 0,5·1,25

T = 16,83 kN

Відповідь

T = 16,83 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 30 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 48 − 12·1,5 = 30 kN

Відповідь

V_x = 30 kN

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 32,25 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 4·4·2

R_B = 137/4 = 34,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 34,25 = 16,75 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 16,75·3 − 4·3·1,5 = 32,25 kN·m

Відповідь

M_x = 32,25 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 706,9·80)/(24000 − 706,9) = 100,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·−0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 1200·120)/(24000 − 1200) = 98,95 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·1,053² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·21,05² = 0,6919 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics