У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Знайдіть скалярний добуток a·b векторів a = (−4, 7, 2) і b = (2, −7, 2).
a = (−4, 7, 2)b = (2, −7, 2)
a·b =
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (5, −1, 3) і b = (3, 2, 2) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂x.
a = (5, −1, 3)b = (3, 2, 2)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорні реакції балокСередня
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 8 mP1 = 50 kN у 3 mP2 = 15 kN у 5 m
RB = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.
L = 4 mP = 10 kN у 2 mw = 3 kN/m від 1 до 2 m
RB = kN
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 40 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
B: 20 kN ↓H: 25 kN ↓H: 30 kN ←
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG
7.Рами та механізмиСередня
Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 80 Н у A (на 150 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 120 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра FO.
F = 80 NOA = 150 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Рами та механізмиСкладна
Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 2,5 м вище від A. У B висить вантаж 5 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.
W = 5 kNWb = 2 kNAB = 5 mAC = 2,5 m
A = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.
55 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 4 mP = 35 kN у 1 mw = 12 kN/m від 0 до 4 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 240 mm і стінку товщиною 12 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 150 mmH = 240 mmtf = 22 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.
Скалярний добуток:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Він дає кут між двома векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), і дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні. Скалярна проєкція a на b дорівнює a·b/|b|, а стала сила F на переміщенні d виконує роботу W = F·d.
Векторний добуток:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) перпендикулярний до обох векторів, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площа паралелограма, натягнутого на них (площа трикутника — половина). Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, прикладеної в точці A, відносно точки O дорівнює MO = r × F, де r = A − O.
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 15·5
RB = 225/8 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 28,13 = 36,88 kN
Відповідь
RB = 28,13 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: RB = 6,125 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.
Розрахункова схема
Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.
Рівновага
Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 3·1·1,5
RB = 24,5/4 = 6,125 kN
ΣFy = 0: RA = 13 − 6,125 = 6,875 kN
Відповідь
RB = 6,125 kN
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FAC = 7,5 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол C
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Сила в B
Q = 80·150/120 = 100 N
Реакція шарніра
Ox = 100 N, Oy = 80 N
FO = √(100² + 80²) = 128,1 N
Відповідь
FO = 128,1 N
8.Рами та механізми
Відповідь: A = 12,04 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Натяг каната
T = (5 + 2/2)/0,4472 = 13,42 kN
Складові в A
Ax = T·cos β = 12 kN
Ay = 5 + 2 − T·sin β = 1 kN
Модуль
A = √(12² + 1²) = 12,04 kN
Відповідь
A = 12,04 kN
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: E (x = 4 m)
Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.
Опорні реакції
Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.
R1 = 48,33 kN, R2 = 66,67 kN
Згинальний момент у кожній позначці
Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.
MA = 0, MB = 43,33, MC = 76,67, MD = 100, ME = 113,3 kN·m, MF = 61,67, MG = 0
Відповідь
Позначка E: ME = 113,3 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 44,69 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 12·4·2
RB = 131/4 = 32,75 kN
ΣFy = 0: RA = 83 − 32,75 = 50,25 kN
Де V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (50,25 − 35)/12 = 1,271 m
Максимальний момент
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 44,69 kN·m
Відповідь
Mmax = 44,69 kN·m
Це в точці x = 1,271 m від A.
11.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 86,21 × 10⁶ mm⁴
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
стінка: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm