У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вектори: скалярний і векторний добутки
Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|
Метод
Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Опорні реакції балок
Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d
Метод
Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.
Ферма: метод вирізання вузлів
Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск
Метод
Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.
Рами та механізми
Рівновага кожного стрижня
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень
сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі
однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі
F = √(Fx² + Fy²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль
Fin·a = Fout·b
Колінно-важільний механізм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Метод
Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.
Поперечна сила і згинальний момент
Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8
Метод
Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Задачі для практики
1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня
Стала сила F = (20, −25, 30) N діє на тіло, яке рухається по прямій від точки A(−1, 1, 2) до точки B(1, 1, 0). Координати подано в метрах. Знайдіть роботу W, виконану силою.
F = (20, −25, 30) NA(−1, 1, 2) mB(1, 1, 0) m
W = J
2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна
Одиничний вектор n̂ перпендикулярний до обох векторів a = (−5, 1, 4) і b = (−4, −3, 5) та має додатну z-компоненту. Знайдіть його x-компоненту n̂x.
a = (−5, 1, 4)b = (−4, −3, 5)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорні реакції балокСередня
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
AB = 5 mAC = 8 mP1 = 60 kN у 3 mP2 = 15 kN у 8 m
RA = kN
4.Опорні реакції балокСкладна
Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.
AC = 3 mAD = 8 mP = 20 kN у 5 mQ = 70 kN у 2 m
MA = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
D: 10 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓
1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC
7.Рами та механізмиСередня
Показаний кутовий важіль обертається навколо осі O. Вертикальна сила 100 Н у A (на 150 мм від O) зрівноважується горизонтальною силою в B (на 120 мм вище від O). Знайдіть модуль реакції шарніра FO.
F = 100 NOA = 150 mmOB = 120 mm
FO = N
8.Рами та механізмиСкладна
Показана рама має шарніри в A, B і C; A і C закріплені на землі на відстані 8 м одна від одної, а B розташований на висоті 4 м і на 4,8 м праворуч від A. Стрижень AB несе вертикальне навантаження 4 кН у K на 2,88 м (по горизонталі) від A, а в B на стрижень AB діє горизонтальне навантаження 6 кН праворуч. Знайдіть величину горизонтальної реакції Ax у A.
P = 4 kNQ = 6 kNL = 8 mH = 4 mгоризонтальна відстань від A до B = 4,8 mгоризонтальна відстань від A до K = 2,88 m
Ax = kN
9.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.
L = 6 mP = 30 kN у 1,5 mw = 8 kN/m від 0 до 6 m
Mmax = kN·m
11.Центр ваги й момент інерціїСередня
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 460 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.
B = 190 mmH = 460 mmtf = 18 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 35 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент Mallow, який може витримати балка.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Переміщення
d = B − A = (1, 1, 0) − (−1, 1, 2) = (2, 0, −2) m
Робота
W = F·d = 20·2 + (−25)·0 + 30·(−2) = −20 J
Відповідь
W = −20 J
Від’ємна робота: сила здебільшого діє проти руху.
2.Вектори: скалярний і векторний добутки
Відповідь: n̂x = 0,6288
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторний добуток
(a × b)x = aybz − azby = 1·5 − 4·(−3) = 17
(a × b)y = azbx − axbz = 4·(−4) − (−5)·5 = 9
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·(−3) − 1·(−4) = 19
Нормування
z-компонента a × b уже додатна.
|a × b| = √(17² + 9² + 19²) = 27,04
n̂ = (17, 9, 19)/27,04 = (0,6288, 0,3329, 0,7027)
n̂x = 0,6288
Відповідь
n̂x = 0,6288
3.Опорні реакції балок
Відповідь: RA = 15 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Моменти відносно A
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
ΣMA = 0: RB·5 = 60·3 + 15·8
RB = 300/5 = 60 kN
Рівновага по вертикалі
RA = 60 + 15 − 60 = 15 kN
Відповідь
RA = 15 kN
4.Опорні реакції балок
Відповідь: MA = 176 kN·m
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.
Ділянка CD
У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.
ΣMC = 0: RD·5 = 20·2
RD = 8 kN
VC = 20 − 8 = 12 kN
Ділянка AC
Сила в шарнірі VC діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).
RA = 70 + 12 = 82 kN
MA = 70·2 + 12·3 = 176 kN·m
Відповідь
MA = 176 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів
Відповідь: FBC = −42,43 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Опорні реакції
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
Вузол C
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
Вузол B
AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Перевірка методом вузлів
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Механізми: кліщі, важелі, шарнірні системи та затискачі перетворюють вхідну силу на більшу або інакше напрямлену вихідну. Накресліть одну частину як вільне тіло й візьміть моменти відносно її осі: сила в шарнірі випадає, а Fin·a = Fout·b дає виграш у силі a/b. Сила в шарнірі випливає з ΣF = 0 для тієї самої частини. У колінно-важільному механізмі дві ланки сходяться під малим кутом θ; кожна ланка — двосиловий стрижень, тож мала сила F у шарнірі створює великі сили в ланках F/(2 sin θ) і силу затиску F/(2 tan θ).
Сила в B
Q = 100·150/120 = 125 N
Реакція шарніра
Ox = 125 N, Oy = 100 N
FO = √(125² + 100²) = 160,1 N
Відповідь
FO = 160,1 N
8.Рами та механізми
Відповідь: Ax = 2,448 kN
Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.
Напрям BC
BC = 5,122 m, cos = 0,6247, sin = 0,7809
Уся рама: моменти відносно A
FBC·0,7809·8 = 4·2,88 + 6·4
FBC = 5,686 kN
Горизонтальний баланс
Ax + 6 − 5,686·0,6247 = 0
Ax = −2,448 kN → |Ax| = 2,448 kN
Відповідь
Ax = 2,448 kN
Знак мінус означає, що Ax напрямлена ліворуч.
9.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 16,88 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
Розріжте в x = 4,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 15·4,5 − 5·4,5·2,25 = 16,88 kN·m
Відповідь
Mx = 16,88 kN·m
10.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mmax = 62,02 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m
Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.