Статика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вектори: скалярний і векторний добутки

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Одиничний вектор: û = a/|a|
Компоненти за кутом: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярний добуток: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b: a·b/|b|
Робота: W = F·d
Векторний добуток: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площі: паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O: M_O = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Рами та механізми

Рівновага кожного стрижня: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двосиловий стрижень: сила напрямлена вздовж прямої, що проходить через два його шарніри
Сила в шарнірі: однакові за модулем і протилежні за напрямом на двох стрижнях, які він з’єднує
Модуль сили в шарнірі: F = √(F_x² + F_y²)
Важіль, кліщі, кутовий важіль: F_in·a = F_out·b
Колінно-важільний механізм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження

Метод

Накресліть усю конструкцію й знайдіть реакції опор, якщо невідомих не більше трьох.
Знайдіть двосилові стрижні: вони навантажені лише у двох шарнірах, тож їхня сила діє вздовж прямої між шарнірами.
Розбийте раму на частини й накресліть кожен стрижень окремо, з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах там, де стрижні сходяться.
Для кожного стрижня візьміть моменти відносно шарніра з невідомими силами, потім використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0; складові об’єднайте в модуль наприкінці.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Задачі для практики

1.Вектори: скалярний і векторний добуткиСередня

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−5, −3, 1) і b = (−4, −1, k) перпендикулярні.

a = (−5, −3, 1)b = (−4, −1, k)

k =

2.Вектори: скалярний і векторний добуткиСкладна

Сила F = (40, 60, −30) N діє в точці A(−1, −3, −3). Координати подано в метрах. Знайдіть z-компоненту M_z моменту сили відносно початок координат O(0, 0, 0).

F = (40, 60, −30) NA(−1, −3, −3) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 15 kN/m в A до нуля в B. Також на відстані 3 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 50 kN у 3 m

R_A = kN

4.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 4 mAD = 8 mP = 55 kN у 7 mw = 12 kN/m від 4 до 8 mQ = 75 kN у 2 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_AC = kN

7.Рами та механізмиСередня

Горизонтальна балка AB прикріплена шарніром до стіни в A і підперта розкосом CD, закріпленим шарніром до стіни в C, що на 0,8 м нижче від A. У B висить вантаж 12 кН. Знехтуйте вагою. Знайдіть модуль сили A в шарнірі на балці в A.

P = 12 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Рами та механізмиСкладна

Однорідна горизонтальна стріла AB вагою 2 кН закріплена шарніром до стіни в A і утримується канатом від B до точки C на стіні на 4 м вище від A. У B висить вантаж 12 кН. Знайдіть модуль реакції шарніра A.

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 4 m

A = kN

9.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 8 kN/m від 0 до 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 25 kN у 4 mw = 4 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 80 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmвиріз: 80 × 50 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Розчини

1.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: k = −23

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−5)·(−4) + (−3)·(−1) + 1·k = 0

23 + 1·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −23/1 = −23

Відповідь

k = −23

2.Вектори: скалярний і векторний добутки

Відповідь: M_z = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радіус-вектор від O до A

r = A − O = (−1, −3, −3) − (0, 0, 0) = (−1, −3, −3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−30) − (−3)·60 = 270 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·40 − (−1)·(−30) = −150 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·60 − (−3)·40 = 60 N·m

Потрібна компонента

M_z = 60 N·m

Відповідь

M_z = 60 N·m

3.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 45 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37,5·1,667 + 50·3

R_B = 42,5 kN

R_A = 87,5 − 42,5 = 45 kN

Відповідь

R_A = 45 kN

4.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 65,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 12·4 = 48 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 55·3 + 48·2

R_D = 65,25 kN

V_C = 103 − 65,25 = 37,75 kN

Відповідь

R_D = 65,25 kN

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 31,25 kN (T), BC: 31,25 kN (T), CD: 23,75 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 36,67 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 + 15·2 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 18,33 = 21,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,33/0,4472 = −40,99 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40,99)·0,8944 = 36,67 kN

Відповідь

F_AC = 36,67 kN (розтяг)

7.Рами та механізми

Відповідь: A = 56,55 kN

Рами та механізми: на відміну від ферми, рама містить принаймні один стрижень, що сприймає сили у більш ніж двох точках, або навантаження між шарнірами. Спершу шукайте двосилові стрижні: стрижень, навантажений лише у двох шарнірах, має силу вздовж прямої через них, тож додає одну невідому, а не дві. Потім використайте всю конструкцію для реакцій опор, якщо невідомих не більше трьох. Нарешті розбийте раму: накресліть кожен стрижень окремо з однаковими за модулем і протилежними за напрямом силами в шарнірах на двох стрижнях, які вони з’єднують, і запишіть для нього ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0. Моменти відносно шарніра усувають із рівняння обидві складові сили в цьому шарнірі.

Сила в розкосі

F_CD = 12·3,6/(0,4706·1,5) = 61,2 kN

Складові в A

A_x = F_CD·cos α = 54 kN (до стіни)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −16,8 kN

Модуль

A = √(54² + −16,8²) = 56,55 kN

Відповідь

A = 56,55 kN

Від’ємне A_y означає, що стіна тягне балку вниз у A.

8.Рами та механізми

Відповідь: A = 6,576 kN

Натяг каната

T = (12 + 2/2)/0,8944 = 14,53 kN

Складові в A

A_x = T·cos β = 6,5 kN

A_y = 12 + 2 − T·sin β = 1 kN

Модуль

A = √(6,5² + 1²) = 6,576 kN

Відповідь

A = 6,576 kN

9.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 7 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 16·0,5 − 8·0,5·0,25 = 7 kN·m

Відповідь

M_x = 7 kN·m

10.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 82 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·4 + 4·8·4

R_B = 228/8 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 28,5 = 28,5 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 28,5·4 − 4·4·2 = 82 kN·m

Відповідь

M_x = 82 kN·m

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1257·168)/(48000 − 1257) = 118,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·1,29² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,29² = 3,179 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 30,31 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 4000·97,5)/(18000 − 4000) = 68,57 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·6,429² = 34,49 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

80·50³/12 + 4000·28,93² = 4,181 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 30,31 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 30,31 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics