Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 44, 10, 16, 16, 32.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 70?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 2 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 2

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них менша за 148,2 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 148.2 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 75% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 78,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 79,5 h, відоме стандартне відхилення 12 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 78,5 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 79,5 hσ₂ = 12 h90%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 36E = 1,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 125 mm, відоме стандартне відхилення лінії 12 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 121,8 mm, відоме стандартне відхилення 9 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 40x̄₁ = 125 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 80x̄₂ = 121,8 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 497,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 497,9σ = 10n = 10099%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,59

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 144/6 = 24

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2² + 20² + (−14)² + (−8)² + (−8)² + 8² = 792

Стандартне відхилення

s = √(792/5) = 12,59

Відповідь

s = 12,59

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,3056

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Відповідь

P = 0,3056

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1586

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Додайте

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Відповідь

P = 0,1586

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9357

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Стандартизуйте

z = (148,2 − 144)/2,771 = 1,52

Імовірність

P = Φ(1,52) = 0,9357

Відповідь

P = 0,9357

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 246,7 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Відповідь

x = 246,7 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −4,249 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 78,5 − 79,5 = −1

Стандартна похибка

SE = √(3²/30 + 12²/40) = 1,975

Похибка оцінки

E = 1,645·1,975 = 3,249

Інтервал

−1 ± 3,249 → [−4,249, 2,249]

Відповідь

нижня межа = −4,249 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2213

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·36/1,5)² = 2213

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2213

Відповідь

n = 2213

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,49

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(12²/40 + 9²/80) = √4,613 = 2,148

Статистика критерію

z = (125 − 121,8)/2,148 = 1,49

Відповідь

z = 1,49

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 495,3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·10/√100 = 2,576

Межа інтервалу

L = 497,9 − 2,576 = 495,3

Відповідь

L = 495,3

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9863

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 112/6 = 18,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 465,3

Коефіцієнт кореляції

r = 178/√(70·465,3) = 0,9863

Відповідь

r = 0,9863

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 35,75

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 167/6 = 27,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

Лінія регресії

b = 277/70 = 3,957

a = 27,83 − 3,957·7 = 0,1333

ŷ = 0,1333 + 3,957·x

Прогноз

ŷ = 0,1333 + 3,957·9 = 35,75

Відповідь

ŷ = 35,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1