Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 55, 21, 36, 47, 58.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 52?

μ = 70σ = 12x = 52

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 11p = 0,1k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 60,5 і 70 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 70

P =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 64 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 54,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 64 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 54,5 hσ₂ = 4 h99%

E = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 40E = 0,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 142 mm, відоме стандартне відхилення лінії 6 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 139,6 mm, відоме стандартне відхилення 9 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 142 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 80x̄₂ = 139,6 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 500,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 500,6σ = 5n = 10095%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (8, 68). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(8, 68)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,14

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 217/5 = 43,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 11,6² + (−22,4)² + (−7,4)² + 3,6² + 14,6² = 917,2

Стандартне відхилення

s = √(917,2/4) = 15,14

Відповідь

s = 15,14

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,07103

Біноміальна формула

P(X = 3) = 165·0,1³·0,9⁸ = 165·0,001·0,4305 = 0,07103

Відповідь

P = 0,07103

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3651

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−0,45) = 0,6915 − 0,3264 = 0,3651

Відповідь

P = 0,3651

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 172,1 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,2

z з таблиці

z ≈ −0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Відповідь

x = 172,1 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,834 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 64 − 54,5 = 9,5

Стандартна похибка

SE = √(9²/100 + 4²/40) = 1,1

Похибка оцінки

E = 2,576·1,1 = 2,834

Відповідь

E = 2,834 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 42469

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·40/0,5)² = 42469

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 42469

Відповідь

n = 42469

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,614

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(6²/30 + 9²/80) = √2,212 = 1,487

Статистика критерію

z = (142 − 139,6)/1,487 = 1,614

Відповідь

z = 1,614

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 499,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√100 = 0,98

Межа інтервалу

L = 500,6 − 0,98 = 499,6

Відповідь

L = 499,6

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,928

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 108,8

Коефіцієнт кореляції

r = −40,5/√(17,5·108,8) = −0,928

Відповідь

r = −0,928

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,6

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 254/5 = 50,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Лінія регресії

b = 168/40 = 4,2

a = 50,8 − 4,2·5 = 29,8

ŷ = 29,8 + 4,2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 29,8 + 4,2·8 = 63,4

Залишок

e = 68 − 63,4 = 4,6

Відповідь

e = 4,6

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1