Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 13, 19, 60, 18, 27.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 102.

μ = 100σ = 5x = 102

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 9

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,1 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€10: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1949. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1949

z =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 113,5 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 124,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 113,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 124,5 hσ₂ = 6 h90%

E = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,7 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,7E = 0,0599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 496,3 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,3s = 10n = 36

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 0,595%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 63). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 63)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 18,9

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 137/5 = 27,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + (−8,4)² + 32,6² + (−9,4)² + (−0,4)² = 1429

Стандартне відхилення

s = √(1429/4) = 18,9

Відповідь

s = 18,9

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (102 − 100)/5 = 0,4

Відповідь

z = 0,4

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,1099

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099

Відповідь

P = 0,1099

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 8 (p = 0,1), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)

Математичне сподівання

E(G) = 8·0,1 + 98·0,02 − 2·0,88 = 1 €

Відповідь

E(G) = 1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,86

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1949 = 0,8051

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8051 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,86

Відповідь

z = 0,86

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 185,3 cm

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Відповідь

x = 185,3 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,846 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 113,5 − 124,5 = −11

Стандартна похибка

SE = √(16²/60 + 6²/30) = 2,338

Похибка оцінки

E = 1,645·2,338 = 3,846

Відповідь

E = 3,846 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 558

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,05² = 557,4

Округліть угору

n = 558

Відповідь

n = 558

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,22

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерію

t = (496,3 − 500)/1,667 = −2,22

Відповідь

t = −2,22

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 3458

Виразіть n

n = (1,96·15/0,5)² = 3457

Округліть угору

n = 3458

Відповідь

n = 3458

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9026

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 410/6 = 68,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 711,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 106²/(17,5·711,3) = 0,9026

Відповідь

r² = 0,9026

Близько 90,26% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,95

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 378/5 = 75,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Лінія регресії

b = 51/10 = 5,1

a = 75,6 − 5,1·5 = 50,1

ŷ = 50,1 + 5,1·x

Прогнозоване значення

ŷ = 50,1 + 5,1·3,5 = 67,95

Залишок

e = 63 − 67,95 = −4,95

Відповідь

e = −4,95

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1