Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 21, 28, 16, 15, 58, 55, 45.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 72?
μ = 60σ = 12x = 72
P =
3.ІмовірністьСередня
У мішечку 8 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
8 / 5
P =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 3X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,1, 0,35, 0,35, 0,05Y = 3X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 53 і 83,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 53x2 = 83,5
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 25%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 17,5 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 17,5s = 11,590%t(14) = 1,761
E =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 16. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 16E = 399%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 71,5 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,5s = 15n = 36
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 30. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
α = 0,01потужність = 80%δ = 4σ = 30zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 116Σx² = 91Σy² = 2290Σxy = 380
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 62). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 62)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 18,38
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 238/7 = 34
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−6)² + (−18)² + (−19)² + 24² + 21² + 11² = 2028
Стандартне відхилення
s = √(2028/6) = 18,38
Відповідь
s = 18,38
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,359
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359
Відповідь
P = 0,359
4.Імовірність
Відповідь: σY = 3,351
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,05, Var(X) = 1,248, σX = 1,117
Лінійна зміна
σY = |3|·1,117 = 3,351
Відповідь
σY = 3,351
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·3,05 + 5 = 14,15.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8528
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2
z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85
Площа між
P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528
Відповідь
P = 0,8528
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 89,88 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 балів
Відповідь
x = 89,88 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 5,229
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Похибка оцінки
E = 1,761·11,5/√15 = 5,229
Відповідь
E = 5,229
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 189
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·16/3)² = 188,8
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 189
Відповідь
n = 189
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Статистика критерію
t = (71,5 − 75)/2,5 = −1,4
Відповідь
t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 565
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 0,842)·30/4)² = 564,5
Округліть угору
n = 565
Відповідь
n = 565
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9034
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 380 − 21·116/6 = −26
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2290 − 116²/6 = 47,33
Коефіцієнт кореляції
r = −26/√(17,5·47,33) = −0,9034
Відповідь
r = −0,9034
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,743
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 390/6 = 65
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Лінія регресії
b = 118/17,5 = 6,743
a = 65 − 6,743·4,5 = 34,66
ŷ = 34,66 + 6,743·x
Прогнозоване значення
ŷ = 34,66 + 6,743·3,5 = 58,26
Залишок
e = 62 − 58,26 = 3,743
Відповідь
e = 3,743
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1