Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 19, 59, 16, 12, 31.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 109.

μ = 100σ = 15x = 109

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,2, 0,3, 0,35Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 470 і 572 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 572

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 93 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 83 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 93 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 83 hσ₂ = 4 h95%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 25. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 25E = 590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

10 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −1,16, стандартне відхилення різниць 2,3. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −1,16s_d = 2,3

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 49,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 49,7σ = 15n = 8190%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 22). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 22)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,38

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 173/6 = 28,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 7,167² + (−9,833)² + 30,17² + (−12,83)² + (−16,83)² + 2,167² = 1511

Стандартне відхилення

s = √(1511/5) = 17,38

Відповідь

s = 17,38

2.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (109 − 100)/15 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

3.Імовірність

Відповідь: σ = 10,77

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,15 = 22

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,15 = 600

Дисперсія

Var(X) = 600 − 22² = 116

σ = √116 = 10,77

Відповідь

σ = 10,77

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 21,24

Розкид X

μ = 28,5, Var(X) = 112,8, σ_X = 10,62

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·10,62 = 21,24

Відповідь

σ_Y = 21,24

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·28,5 + 5 = −52.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7374

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,75) = 0,9641 − 0,2266 = 0,7374

Відповідь

P = 0,7374

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 565,8 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Відповідь

x = 565,8 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 11,62 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 93 − 83 = 10

Стандартна похибка

SE = √(5²/60 + 4²/60) = 0,8266

Похибка оцінки

E = 1,96·0,8266 = 1,62

Інтервал

10 ± 1,62 → [8,38, 11,62]

Відповідь

верхня межа = 11,62 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·25/5)² = 67,65

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 68

Відповідь

n = 68

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,595

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 2,3/√10 = 0,7273

Статистика критерію

t = −1,16/0,7273 = −1,595

Відповідь

t = −1,595

При df = 9 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,262; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 46,96

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·15/√81 = 2,742

Межа інтервалу

L = 49,7 − 2,742 = 46,96

Відповідь

L = 46,96

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,983

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 133/6 = 22,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 634,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 209²/(70·634,8) = 0,983

Відповідь

r² = 0,983

Близько 98,3% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 5,1

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Лінія регресії

b = −18/10 = −1,8

a = 17,8 − (−1,8)·3 = 23,2

ŷ = 23,2 − 1,8·x

Прогнозоване значення

ŷ = 23,2 + (−1,8)·3,5 = 16,9

Залишок

e = 22 − 16,9 = 5,1

Відповідь

e = 5,1

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1