Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 32, 17, 57, 46, 37.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 50?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 8

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,3 і €200 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€50: p = 0,3€200: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 397 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 397 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 26,5 і стандартне відхилення s = 7,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 26,5s = 7,595%t(8) = 2,306

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.

n = 20s = 5,6 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 126 mm, відоме стандартне відхилення лінії 4 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 128,2 mm, відоме стандартне відхилення 6 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 100x̄₁ = 126 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 100x̄₂ = 128,2 mmσ₂ = 6 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 106,8. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 100μ = 106,8σ = 20n = 100α = 0,01

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,33

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 239/6 = 39,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,17² + (−7,833)² + (−22,83)² + 17,17² + 6,167² + (−2,833)² = 1027

Стандартне відхилення

s = √(1027/5) = 14,33

Відповідь

s = 14,33

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7674

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Відповідь

P = 0,7674

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 15 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 40 (p = 0,3), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 40·0,3 + 190·0,05 − 10·0,65 = 15 €

Відповідь

E(G) = 15 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Стандартизуйте

z = (397 − 400)/2 = −1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 248,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Відповідь

x = 248,8 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 32,27

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·7,5/√9 = 5,765

Інтервал

26,5 ± 5,765 → [20,73, 32,27]

Відповідь

верхня межа = 32,27

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 8,179 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 19·5,6² = 595,8

Межі для σ²

595,8/32,852 = 18,14

595,8/8,907 = 66,9

Межа для σ

σ = √66,9 = 8,179 µm

Відповідь

σ = 8,179 µm

95 % інтервал для σ: [4,259, 8,179] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −3,051

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(4²/100 + 6²/100) = √0,52 = 0,7211

Статистика критерію

z = (126 − 128,2)/0,7211 = −3,051

Відповідь

z = −3,051

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 14,14 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 100 + 2,326·2 = 104,7

z при справжньому середньому

z = (104,7 − 106,8)/2 = −1,074

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −1,074) = 85,86%

β = 100% − 85,86% = 14,14%

Відповідь

β = 14,14%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9836

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 264/5 = 52,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 628,8

Коефіцієнт кореляції

r = 156/√(40·628,8) = 0,9836

Відповідь

r = 0,9836

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 56,45

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 334/5 = 66,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

Лінія регресії

b = 69/10 = 6,9

a = 66,8 − 6,9·3 = 46,1

ŷ = 46,1 + 6,9·x

Прогноз

ŷ = 46,1 + 6,9·1,5 = 56,45

Відповідь

ŷ = 56,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1