Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 48, 48, 33, 51, 47, 35.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 68?

μ = 50σ = 12x = 68

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,15, 0,2, 0,35Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7813. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7813

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 12 елементів має середнє 90 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 12x̄ = 90s = 4,599%t(11) = 3,106

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,4 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,4E = 0,02595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 79,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 83,5 mm, відоме стандартне відхилення 13 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 79,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 60x̄₂ = 83,5 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 0,599%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 7,633

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 262/6 = 43,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4,333² + 4,333² + (−10,67)² + 7,333² + 3,333² + (−8,667)² = 291,3

Стандартне відхилення

s = √(291,3/5) = 7,633

Відповідь

s = 7,633

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,96

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,1 = 1,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,1 = 2,4

Дисперсія

Var(X) = 2,4 − 1,2² = 0,96

Відповідь

Var(X) = 0,96

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 7,327

Розкид X

μ = 2,45, Var(X) = 2,147, σ_X = 1,465

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,465 = 7,327

Відповідь

σ_Y = 7,327

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·2,45 + 4 = 16,25.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,23

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7813)/2 = 0,8907

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8907 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,23

Відповідь

z = 1,23

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 182,7 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Відповідь

x = 182,72 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 85,97

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Похибка оцінки

E = 3,106·4,5/√12 = 4,035

Інтервал

90 ± 4,035 → [85,97, 94,03]

Відповідь

нижня межа = 85,97

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1476

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,025² = 1475

Округліть угору

n = 1476

Відповідь

n = 1476

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,299

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/60 + 13²/60) = √9,483 = 3,08

Статистика критерію

z = (79,5 − 83,5)/3,08 = −1,299

Відповідь

z = −1,299

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 664

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·5/0,5)² = 663,6

Округліть угору

n = 664

Відповідь

n = 664

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9872

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 345,2

Коефіцієнт кореляції

r = 116/√(40·345,2) = 0,9872

Відповідь

r = 0,9872

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 69,9

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 495/6 = 82,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441

Лінія регресії

b = 441/70 = 6,3

a = 82,5 − 6,3·6 = 44,7

ŷ = 44,7 + 6,3·x

Прогноз

ŷ = 44,7 + 6,3·4 = 69,9

Відповідь

ŷ = 69,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1