Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 23, 22, 44, 55, 30.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 12p = 0,6

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 167,85 і 186,75 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,85x₂ = 186,75

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 7 елементів має середнє 99 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 7x̄ = 99s = 11,590%t(6) = 1,943

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.

n = 11s = 5,8 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 20 студентів, середній бал 23,5, стандартне відхилення 8. Група 2: 11 студентів, середній бал 27,9, стандартне відхилення 7,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 20x̄₁ = 23,5s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 27,9s₂ = 7,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 13. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 95%δ = 2,5σ = 13z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 101Σx² = 55Σy² = 2053Σxy = 292

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,31

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 174/5 = 34,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−11,8)² + (−12,8)² + 9,2² + 20,2² + (−4,8)² = 818,8

Стандартне відхилення

s = √(818,8/4) = 14,31

Відповідь

s = 14,31

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсія

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Відповідь

σ = 0,8047

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,0003188

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

Додайте

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

Відповідь

P = 0,0003188

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8208

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−1,45) = 0,8944 − 0,07353 = 0,8208

Відповідь

P = 0,8208

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 248,8 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Відповідь

x = 248,8 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 90,55

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·11,5/√7 = 8,445

Інтервал

99 ± 8,445 → [90,55, 107,4]

Відповідь

нижня межа = 90,55

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 10,18 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 10·5,8² = 336,4

Межі для σ²

336,4/20,483 = 16,42

336,4/3,247 = 103,6

Межа для σ

σ = √103,6 = 10,18 µm

Відповідь

σ = 10,18 µm

95 % інтервал для σ: [4,053, 10,18] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,497

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (19·8² + 10·7,5²)/29 = 61,33

s_p = 7,831

Стандартна похибка

SE = 7,831·√(1/20 + 1/11) = 2,94

Статистика критерію

t = (23,5 − 27,9)/2,94 = −1,497

Відповідь

t = −1,497

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 427

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,645)·13/2,5)² = 426,4

Округліть угору

n = 427

Відповідь

n = 427

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9723

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 292 − 15·101/5 = −11

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2053 − 101²/5 = 12,8

Коефіцієнт кореляції

r = −11/√(10·12,8) = −0,9723

Відповідь

r = −0,9723

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 29,37

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 139/6 = 23,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217

Лінія регресії

b = 217/70 = 3,1

a = 23,17 − 3,1·7 = 1,467

ŷ = 1,467 + 3,1·x

Прогноз

ŷ = 1,467 + 3,1·9 = 29,37

Відповідь

ŷ = 29,37

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1