Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 23, 11, 56, 19.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 460.

μ = 500σ = 50x = 460

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,05, 0,3Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8415. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8415

z =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 40% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 107,5 і стандартне відхилення s = 3. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 107,5s = 395%t(15) = 2,131

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 24E = 1,590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 97,84 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,84s = 12n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 75 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 111 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 111n₂ = 300

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 27). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(7, 27)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 18,72

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 153/5 = 30,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−7,6)² + (−19,6)² + 25,4² + (−11,6)² = 1401

Стандартне відхилення

s = √(1401/4) = 18,72

Відповідь

s = 18,72

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (460 − 500)/50 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,9734

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,1 = 2,05

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,1 = 5,15

Дисперсія

Var(X) = 5,15 − 2,05² = 0,9475

σ = √0,9475 = 0,9734

Відповідь

σ = 0,9734

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 6,633

Розкид X

μ = 3,2, Var(X) = 1,76, σ_X = 1,327

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,327 = 6,633

Відповідь

σ_Y = 6,633

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·3,2 + 4 = 20.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,41

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8415)/2 = 0,9207

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9207 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,41

Відповідь

z = 1,41

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 248,8 g

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,4

z з таблиці

z ≈ −0,25

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Відповідь

x = 248,8 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,598

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·3/√16 = 1,598

Відповідь

E = 1,598

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 693

Виразіть n

n = (1,645·24/1,5)² = 692,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 693

Відповідь

n = 693

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Статистика критерію

t = (97,84 − 100)/2,4 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −3,178

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 111/300 = 0,37

p̂ = 186/600 = 0,31

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,31·0,69·(1/300 + 1/300)) = 0,03776

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,37)/0,03776 = −3,178

Відповідь

z = −3,178

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8731

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 93/6 = 15,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 135,5

Коефіцієнт детермінації

r² = −45,5²/(17,5·135,5) = 0,8731

Відповідь

r² = 0,8731

Близько 87,31% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,35

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 127/5 = 25,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Лінія регресії

b = 158/40 = 3,95

a = 25,4 − 3,95·6 = 1,7

ŷ = 1,7 + 3,95·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,7 + 3,95·7 = 29,35

Залишок

e = 27 − 29,35 = −2,35

Відповідь

e = −2,35

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1