Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 55, 45, 15, 18, 23, 53, 19.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 160,4.

μ = 170σ = 8x = 160,4

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 4

N =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05Y = 2X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 69,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 69,1 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 10,5 і стандартне відхилення s = 9. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 10,5s = 999%t(20) = 2,845

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 20E = 399%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 81,5, стандартне відхилення 5. Група 2: 7 студентів, середній бал 84,5, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 10x̄₁ = 81,5s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 84,5s₂ = 5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 499,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 499,7σ = 4n = 1699%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 9?

n = 5ŷ = 9

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,66

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 228/7 = 32,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 22,43² + 12,43² + (−17,57)² + (−14,57)² + (−9,571)² + 20,43² + (−13,57)² = 1872

Стандартне відхилення

s = √(1872/6) = 17,66

Відповідь

s = 17,66

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (160,4 − 170)/8 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

3.Імовірність

Відповідь: N = 495

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Відповідь

N = 495

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,841

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,8475, σ_X = 0,9206

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·0,9206 = 1,841

Відповідь

σ_Y = 1,841

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·1,05 + 20 = 22,1.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9306

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Стандартизуйте

z = (69,1 − 72)/1,96 = −1,48

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,48) = 0,9306

Відповідь

P = 0,9306

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 24,31 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Відповідь

x = 24,31 min

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,587

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Похибка оцінки

E = 2,845·9/√21 = 5,587

Відповідь

E = 5,587

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 295

Виразіть n

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 295

Відповідь

n = 295

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,218

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (9·5² + 6·5²)/15 = 25

s_p = 5

Стандартна похибка

SE = 5·√(1/10 + 1/7) = 2,464

Статистика критерію

t = (81,5 − 84,5)/2,464 = −1,218

Відповідь

t = −1,218

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 497,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Межа інтервалу

L = 499,7 − 2,576 = 497,1

Відповідь

L = 497,1

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9943

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 310/5 = 62

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1094

Коефіцієнт кореляції

r = 208/√(40·1094) = 0,9943

Відповідь

r = 0,9943

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,543

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 72/5 = 14,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

Лінія регресії

b = −35/10 = −3,5

a = 14,4 − (−3,5)·3 = 24,9

ŷ = 24,9 − 3,5·x

Розв’яжіть щодо x

x = (9 − 24,9)/(−3,5) = 4,543

Відповідь

x = 4,543

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1