Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 22, 46, 22, 58, 30, 55.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 160.

μ = 170σ = 20x = 160

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4907. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4907

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 67,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 67,5s = 1495%t(7) = 2,365

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 18. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 18E = 0,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 107,2 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 107,2s = 15n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 15E = 1,599%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 91Σx² = 91Σy² = 1599Σxy = 259

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,52

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 260/7 = 37,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−10,14)² + (−15,14)² + 8,857² + (−15,14)² + 20,86² + (−7,143)² + 17,86² = 1445

Стандартне відхилення

s = √(1445/6) = 15,52

Відповідь

s = 15,52

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (160 − 170)/20 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,7

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Відповідь

Var(X) = 0,7

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 6,371

Розкид X

μ = 2,3, Var(X) = 4,51, σ_X = 2,124

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·2,124 = 6,371

Відповідь

σ_Y = 6,371

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,3 + 1 = 7,9.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,66

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4907)/2 = 0,7454

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7454 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,66

Відповідь

z = 0,66

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9875

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Відповідь

P = 0,9875

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 79,21

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Похибка оцінки

E = 2,365·14/√8 = 11,71

Інтервал

67,5 ± 11,71 → [55,79, 79,21]

Відповідь

верхня межа = 79,21

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 8600

Виразіть n

n = (2,576·18/0,5)² = 8600

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 8600

Відповідь

n = 8600

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Статистика критерію

t = (107,2 − 100)/3 = 2,4

Відповідь

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 664

Виразіть n

n = (2,576·15/1,5)² = 663,6

Округліть угору

n = 664

Відповідь

n = 664

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9615

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 259 − 21·91/6 = −59,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1599 − 91²/6 = 218,8

Коефіцієнт кореляції

r = −59,5/√(17,5·218,8) = −0,9615

Відповідь

r = −0,9615

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 21,93

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Лінія регресії

b = −28/17,5 = −1,6

a = 20,33 − (−1,6)·3,5 = 25,93

ŷ = 25,93 − 1,6·x

Прогноз

ŷ = 25,93 + (−1,6)·2,5 = 21,93

Відповідь

ŷ = 21,93

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1