Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 12, 11, 30, 51, 31.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 182.

μ = 170σ = 12x = 182

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 3 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 7

P =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7995. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7995

z =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 75% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 57,5 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 46,5 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 57,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 46,5 hσ₂ = 16 h95%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 40E = 0,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 97,28. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 10n = 25x̄ = 97,28H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 78 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 119 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 119n₂ = 150

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 123Σx² = 220Σy² = 3661Σxy = 896

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,45

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 135/5 = 27

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−15)² + (−16)² + 3² + 24² + 4² = 1082

Стандартне відхилення

s = √(1082/4) = 16,45

Відповідь

s = 16,45

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (182 − 170)/12 = 1

Відповідь

z = 1

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,06667

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Відповідь

P = 0,06667

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,122

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,4, Var(X) = 5,04, σ_X = 2,245

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·2,245 = 1,122

Відповідь

σ_Y = 1,122

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,4 + 20 = 21,2.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,28

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7995)/2 = 0,8997

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8997 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,28

Відповідь

z = 1,28

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 182,7 cm

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Відповідь

x = 182,7 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 15,17 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 57,5 − 46,5 = 11

Стандартна похибка

SE = √(5²/100 + 16²/60) = 2,125

Похибка оцінки

E = 1,96·2,125 = 4,165

Інтервал

11 ± 4,165 → [6,835, 15,17]

Відповідь

верхня межа = 15,17 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 42469

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·40/0,5)² = 42469

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 42469

Відповідь

n = 42469

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,08692

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 10/√25 = 2

z = (97,28 − 100)/2 = −1,36

Площа хвоста

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-значення

p = 0,08692

Відповідь

p = 0,08692

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,635

Вибіркові частки

p̂₁ = 78/120 = 0,65

p̂₂ = 119/150 = 0,7933

p̂ = 197/270 = 0,7296

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,7296·0,2704·(1/120 + 1/150)) = 0,0544

Статистика критерію

z = (0,65 − 0,7933)/0,0544 = −2,635

Відповідь

z = −2,635

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9912

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 896 − 30·123/5 = 158

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3661 − 123²/5 = 635,2

Коефіцієнт кореляції

r = 158/√(40·635,2) = 0,9912

Відповідь

r = 0,9912

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,4

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 127/5 = 25,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Лінія регресії

b = −20/10 = −2

a = 25,4 − (−2)·3 = 31,4

ŷ = 31,4 − 2·x

Прогноз

ŷ = 31,4 + (−2)·4,5 = 22,4

Відповідь

ŷ = 22,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1