Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 31, 27, 47, 31, 54, 30.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень менша за 300?

μ = 500σ = 100x = 300

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,1, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 11p = 0,2k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9756. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9756

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 129 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 131,5 h, відоме стандартне відхилення 6 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 129 hσ₁ = 9 hn₂ = 80x̄₂ = 131,5 hσ₂ = 6 h99%

E = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 35E = 399%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 6. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 48,79. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ ≠ 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 6n = 144x̄ = 48,79H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 138 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 66 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 66n₂ = 100

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (18,5, 43). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(18,5, 43)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 234/7 = 33,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + (−2,429)² + (−6,429)² + 13,57² + (−2,429)² + 20,57² + (−3,429)² = 1050

Стандартне відхилення

s = √(1050/6) = 13,23

Відповідь

s = 13,23

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,71

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,3

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7

Дисперсія

Var(X) = 7 − 2,3² = 1,71

Відповідь

Var(X) = 1,71

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2953

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 55·0,2²·0,8⁹ = 55·0,04·0,1342 = 0,2953

Відповідь

P = 0,2953

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,97

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9756 = 0,0244

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0244 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,97

Відповідь

z = −1,97

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 449 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Відповідь

x = 449 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,456 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 129 − 131,5 = −2,5

Стандартна похибка

SE = √(9²/60 + 6²/80) = 1,342

Похибка оцінки

E = 2,576·1,342 = 3,456

Відповідь

E = 3,456 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 904

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·35/3)² = 903,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 904

Відповідь

n = 904

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,01552

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5

z = (48,79 − 50)/0,5 = −2,42

Площа хвоста

Φ(2,42) = 0,9922

1 − Φ(2,42) = 0,0078

p-значення

p = 2·0,0078 = 0,01552

Відповідь

p = 0,01552

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,851

Вибіркові частки

p̂₁ = 138/250 = 0,552

p̂₂ = 66/100 = 0,66

p̂ = 204/350 = 0,5829

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,5829·0,4171·(1/250 + 1/100)) = 0,05834

Статистика критерію

z = (0,552 − 0,66)/0,05834 = −1,851

Відповідь

z = −1,851

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9866

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 318/5 = 63,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1243

Коефіцієнт кореляції

r = 220/√(40·1243) = 0,9866

Відповідь

r = 0,9866

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,7

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 212/5 = 42,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

Лінія регресії

b = 246/90 = 2,733

a = 42,4 − 2,733·20 = −12,27

ŷ = −12,27 + 2,733·x

Прогнозоване значення

ŷ = −12,27 + 2,733·18,5 = 38,3

Залишок

e = 43 − 38,3 = 4,7

Відповідь

e = 4,7

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1