Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 43, 29, 53, 34, 58.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 95.

μ = 100σ = 5x = 95

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,15, 0,25, 0,2

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 5p = 0,5

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 302,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 302,6 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 73 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 63,5 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 73 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 63,5 hσ₂ = 20 h99%

верхня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 67 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 17 ділянок, середнє 67,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 67s₁ = 10n₂ = 17x̄₂ = 67,5s₂ = 1095%t(20) = 2,086

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

15 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 2,22, стандартне відхилення різниць 8,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = 2,22s_d = 8,6

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 72,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 72,1σ = 5n = 2595%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 18.

n = 6x = 18

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,26

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 217/5 = 43,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−0,4)² + (−14,4)² + 9,6² + (−9,4)² + 14,6² = 601,2

Стандартне відхилення

s = √(601,2/4) = 12,26

Відповідь

s = 12,26

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1

Стандартизуйте

z = (95 − 100)/5 = −1

Відповідь

z = −1

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,431

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,2 = 3,05

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,25 + 25·0,2 = 11,35

Дисперсія

Var(X) = 11,35 − 3,05² = 2,048

σ = √2,048 = 1,431

Відповідь

σ = 1,431

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1875

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Додайте

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Відповідь

P = 0,1875

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Стандартизуйте

z = (302,6 − 300)/1,732 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 182,7 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Відповідь

x = 182,72 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 19,44 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 73 − 63,5 = 9,5

Стандартна похибка

SE = √(14²/40 + 20²/40) = 3,86

Похибка оцінки

E = 2,576·3,86 = 9,943

Інтервал

9,5 ± 9,943 → [−0,4435, 19,44]

Відповідь

верхня межа = 19,44 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 10,61 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·10² + 16·10²)/20 = 100

s_p = 10

Похибка оцінки

E = 2,086·10·√(1/5 + 1/17) = 10,61

Відповідь

E = 10,61 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,9998

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 8,6/√15 = 2,221

Статистика критерію

t = 2,22/2,221 = 0,9998

Відповідь

t = 0,9998

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 70,14

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√25 = 1,96

Межа інтервалу

L = 72,1 − 1,96 = 70,14

Відповідь

L = 70,14

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9777

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 370/5 = 74

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1306

Коефіцієнт детермінації

r² = 226²/(40·1306) = 0,9777

Відповідь

r² = 0,9777

Близько 97,77% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 97,45

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 649/6 = 108,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375

Лінія регресії

b = 375/70 = 5,357

a = 108,2 − 5,357·20 = 1,024

ŷ = 1,024 + 5,357·x

Прогноз

ŷ = 1,024 + 5,357·18 = 97,45

Відповідь

ŷ = 97,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1