Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 23, 35, 26, 36, 14.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 115?
μ = 100σ = 15x = 115
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,15, 0,15
σ =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,2
P =
5.Нормальний розподілСередня
Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них менша за 554,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 554.1 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 1,3. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 400 спостережень?
95%n₁ = 100E₁ = 1,3n₂ = 400
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 12. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 12E = 0,599%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 64 студентів має середній бал 72,4 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,4s = 8n = 64
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 8E = 0,595%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 25Σy = 341Σx² = 165Σy² = 24739Σxy = 1947
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 25). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(9, 25)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 8,735
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 153/6 = 25,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−6,5)² + (−2,5)² + 9,5² + 0,5² + 10,5² + (−11,5)² = 381,5
Стандартне відхилення
s = √(381,5/5) = 8,735
Відповідь
s = 8,735
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8413
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
3.Імовірність
Відповідь: σ = 1,424
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,65
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,75
Дисперсія
Var(X) = 4,75 − 1,65² = 2,028
σ = √2,028 = 1,424
Відповідь
σ = 1,424
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,5033
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,88 = 0,1678
P(X = 1) = 8·0,2·0,87 = 0,3355
Додайте
P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033
Відповідь
P = 0,5033
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9332
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
Стандартизуйте
z = (554,1 − 510)/29,39 = 1,5
Імовірність
P = Φ(1,5) = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 551,3 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Відповідь
x = 551,26 h
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 0,65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5
Нова похибка
E₂ = 1,3·0,5 = 0,65
Відповідь
E₂ = 0,65
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3823
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·12/0,5)² = 3822
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3823
Відповідь
n = 3823
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,6
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Статистика критерію
t = (72,4 − 75)/1 = −2,6
Відповідь
t = −2,6
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 984
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·8/0,5)² = 983,4
Округліть угору
n = 984
Відповідь
n = 984
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9937
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1947 − 25·341/5 = 242
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 24739 − 341²/5 = 1483
Коефіцієнт кореляції
r = 242/√(40·1483) = 0,9937
Відповідь
r = 0,9937
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,9
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 98/5 = 19,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Лінія регресії
b = 124/40 = 3,1
a = 19,6 − 3,1·6 = 1
ŷ = 1 + 3,1·x
Прогнозоване значення
ŷ = 1 + 3,1·9 = 28,9
Залишок
e = 25 − 28,9 = −3,9
Відповідь
e = −3,9
Точка лежить нижче прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1