Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 26, 49, 30, 46, 32, 11.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 67,5.
μ = 70σ = 5x = 67,5
z =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,25
σ =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 3X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3Y = 3X + 20
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них менша за 125,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5< 125.6 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 8. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 324 спостережень?
99%n₁ = 36E₁ = 8n₂ = 324
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 21E = 395%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 122,4 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,4s = 10n = 100
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 54,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 54,5σ = 15n = 10090%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 17.
n = 6x = 17
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 15,03
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 205/7 = 29,29
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−18,29)² + (−3,286)² + 19,71² + 0,7143² + 16,71² + 2,714² + (−18,29)² = 1355
Стандартне відхилення
s = √(1355/6) = 15,03
Відповідь
s = 15,03
2.Описова статистика
Відповідь: z = −0,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (67,5 − 70)/5 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
3.Імовірність
Відповідь: σ = 1,071
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,55
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,55
Дисперсія
Var(X) = 3,55 − 1,55² = 1,147
σ = √1,147 = 1,071
Відповідь
σ = 1,071
4.Імовірність
Відповідь: σY = 6,913
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,3, Var(X) = 5,31, σX = 2,304
Лінійна зміна
σY = |3|·2,304 = 6,913
Відповідь
σY = 6,913
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·3,3 + 20 = 29,9.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7054
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg
Стандартизуйте
z = (125,6 − 125)/1,118 = 0,54
Імовірність
P = Φ(0,54) = 0,7054
Відповідь
P = 0,7054
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 173,3 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Відповідь
x = 173,28 cm
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 2,667
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/324) = 0,3333
Нова похибка
E₂ = 8·0,3333 = 2,667
Відповідь
E₂ = 2,667
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 189
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·21/3)² = 188,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 189
Відповідь
n = 189
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Статистика критерію
t = (122,4 − 120)/1 = 2,4
Відповідь
t = 2,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 56,97
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·15/√100 = 2,468
Межа інтервалу
U = 54,5 + 2,468 = 56,97
Відповідь
U = 56,97
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9601
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 240/6 = 40
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194
Syy = Σ(y − ȳ)² = 560
Коефіцієнт детермінації
r² = 194²/(70·560) = 0,9601
Відповідь
r² = 0,9601
Близько 96,01% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 77,24
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 555/6 = 92,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267
Лінія регресії
b = 267/70 = 3,814
a = 92,5 − 3,814·21 = 12,4
ŷ = 12,4 + 3,814·x
Прогноз
ŷ = 12,4 + 3,814·17 = 77,24
Відповідь
ŷ = 77,24
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1