Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
20253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 22, 52, 47, 28, 25, 19.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 110?

μ = 70σ = 20x = 110
P =
3.ІмовірністьСередня
n = 14k = 3N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 3
N =
4.ІмовірністьСкладна
n = 7, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,7. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,7
P =
5.Нормальний розподілСередня
242,5255,25P = ?

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,5 і 255,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 255,25
P =
6.Нормальний розподілСкладна
35455565758595балівверх 10%

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 10% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів10%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 25, s = 14L = ?Ux̄ = 62,5E95%

Вибірка з 25 елементів має середнє 62,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 62,5s = 1495%t(24) = 2,064
нижня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0390%

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p = 0,5E = 0,0390%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,06402,064

Вибірка з 25 студентів має середній бал 101,4 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,4s = 4n = 25
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 86,25. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 80μ = 86,25σ = 15n = 36α = 0,10
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy18512160247227843087xy2025306080

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 120Σy = 354Σx² = 2970Σy² = 26010Σxy = 8784
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2454586678781083xy5106080x = 9

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 85). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(9, 85)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 247/7 = 35,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18,71² + (−13,29)² + 16,71² + 11,71² + (−7,286)² + (−10,29)² + (−16,29)² = 1367

Стандартне відхилення

s = √(1367/6) = 15,1

Відповідь

s = 15,1
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772
3.Імовірність

Відповідь: N = 364

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Відповідь

N = 364
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,003791

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,37 = 0,0002187
P(X = 1) = 7·0,7·0,36 = 0,003572

Додайте

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Відповідь

P = 0,003791
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7863

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863

Відповідь

P = 0,7863
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів

Відповідь

x = 77,8 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 56,72

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Похибка оцінки

E = 2,064·14/√25 = 5,779

Інтервал

62,5 ± 5,779 → [56,72, 68,28]

Відповідь

нижня межа = 56,72
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Округліть угору

n = 752

Відповідь

n = 752
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,75

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерію

t = (101,4 − 100)/0,8 = 1,75

Відповідь

t = 1,75
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 88,84 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 80 + 1,282·2,5 = 83,2

z при справжньому середньому

z = (83,2 − 86,25)/2,5 = −1,218

Потужність

потужність = P(Z > −1,218) = 88,84%
1 − β = 88,84%

Відповідь

1 − β = 88,84%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9866

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 8784 − 120·354/5 = 288
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 26010 − 354²/5 = 946,8

Коефіцієнт кореляції

r = 288/√(90·946,8) = 0,9866

Відповідь

r = 0,9866
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,4

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 331/5 = 66,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Лінія регресії

b = 192/40 = 4,8
a = 66,2 − 4,8·6 = 37,4
ŷ = 37,4 + 4,8·x

Прогнозоване значення

ŷ = 37,4 + 4,8·9 = 80,6

Залишок

e = 85 − 80,6 = 4,4

Відповідь

e = 4,4

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1